弹塑性力学-03.ppt

第三章应变
应用弹塑性力学
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第三章应变
弹性力学应变理论回顾
变形与应变的概念
主应变与应变偏量及其不变量
应变率的概念
应变协调方程
第3章应变
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弹性力学应变理论回顾
在平面问题中,弹性体中各点都可能产生任意方向的位移。通过弹性体内的任一点P,取一单元体PAB,如图所示。弹性体受力以后P、A、B三点分别移动到P′、A′、B′。
图2-5
一、P点的正应变
在这里由于小变形,由y方向位移v所引起的PA的伸缩是高一阶的微量,略去不计。
平面问题的基本理论
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同理可求得:
二、P点的切应变
线段PA的转角:
同理可得线段PB的转角:
所以
平面问题的基本理论
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因此得到平面问题的几何方程:
由几何方程可见,当物体的位移分量完全确定时,形变分量即可完全确定。反之,当形变分量完全确定时,位移分量却不能完全确定。
平面问题的基本理论
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第三章应变
这个关系式称为形变协调方程或相容方程。也就是说,连续体的形变分量不是互相独立的,要满足相容方程,才能保证对应的位移分量存在。如果任取的形变分量,如果不满足相容方程,那么三个几何方程中的任意两个求出的位移分量,将不能满足第三个几何方程。
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第三章应变
变形与应变的概念
在外力作用下,物体各点的位置要发生变化,即发生位移。
如果物体各点发生位移后仍保持各点间初始状态的相对位置,则物体实际上只产生了刚体移动和转动,称这种位移为刚体位移。
如果物体各点发生位移变形后改变了各点间初始状态的相对位置,则物体就同时也产生了形状的变化,称为该物体产生变形。
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第三章应变
设有一弹塑性体,在外力作用下发生了变形。图中实线轮廓为变形前的状态,虚线为变形后的状态。物体中的点A和B,变形后的位置为A′和B′
各点的位移可以用其方向的位移分量表示。因而只要确定了物体各点的位移,物体的变形状态就确定了。因物体各点的位移一般是不同的,故位移分量应为坐标的函数
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第三章应变
设在Oxy平面内为变形前物体中相邻的两点和
,两点间线段为
用矢量表示
为沿坐标轴的分量
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第三章应变
假定位移u,v为x,y的单值连续函数,按泰勒级数展开
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