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第18章勾股定理复****br/>

内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;
表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为,,斜边为,那么
勾股定理的由来:勾股定理也叫商高定理,,较长的直角边称为股,,周朝数学家商高就提出了“勾三,股四,弦五”形式的勾股定理,后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为:两直角边的平方和等于斜边的平方

勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法
用拼图的方法验证勾股定理的思路是
①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变
②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理
常见方法如下:
方法一:,,化简可证.
方法二:
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为
大正方形面积为
所以
方法三:,,化简得证

勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征,因而在应用勾股定理时,必须明了所考察的对象是直角三角形

①已知直角三角形的任意两边长,求第三边
在中,,则,,
②知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系
③可运用勾股定理解决一些实际问题
5、利用勾股定理作长为的线段
作长为、、的线段。
思路点拨:由勾股定理得,直角边为1的等腰直角三角形,斜边长就等于,直角边为和1的直角三角形斜边长就是,类似地可作。
作法:如图所示

(1)作直角边为1(单位长)的等腰直角△ACB,使AB为斜边;
(2)以AB为一条直角边,作另一直角边为1的直角。斜边为;
(3)顺次这样做下去,最后做到直角三角形,这样斜边、、、的长度就是
、、、。
举一反三【变式】在数轴上表示的点。
解析:可以把看作是直角三角形的斜边,,
为了有利于画图让其他两边的长为整数,
而10又是9和1这两个完全平方数的和,得另外两边分别是3和1。


作法:如图所示在数轴上找到A点,使OA=3,作AC⊥OA且截取AC=1,以OC为半径,
以O为圆心做弧,弧与数轴的交点B即为。
注:逆命题与勾股定理逆定理
可以判断真假的陈述句叫做命题,
写出下列原命题的逆命题并判断是否正确
:猫有四只脚.(正确)
:对顶角相等(正确)
:线段垂直平分线上的点,到这条线段两端距离相等.(正确)
:角平分线上的点,到这个角的两边距离相等.(正确)
思路点拨:掌握原命题与逆命题的关系。
解析:1. 逆命题:有四只脚的是猫(不正确)
2. 逆命题:相等的角是对顶角(不正确)
3. 逆命题:到线段两端距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.(正确)
4. 逆命题:到角两边距离相等的点,在这个角的平分线上.(正确)
总结升华:本题是为了学****勾股定理的逆命题做准备。

勾股定理的逆定理的证明方法要掌握,书74页
如果三角形三边长,