【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第五章 平面向量 5.3 平面向量的数量积 文.doc

【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复****第五章平面向量 平面向量的数量积文

已知两个非零向量a和b,作=a,=b,则∠AOB就是向量a与b的夹角,向量夹角的范围是[0,π].

定义
设两个非零向量a,b的夹角为θ,则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积(或内积),记作a·b
投影
|a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影,
|b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影
几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积

设a,b都是非零向量,e是单位向量,θ为a与b(或e)
(1)e·a=a·e=|a|cos θ.
(2)a⊥b⇔a·b=0.
(3)当a与b同向时,a·b=|a||b|;
当a与b反向时,a·b=-|a||b|.
特别地,a·a=|a|2或|a|=.
(4)cos θ=.
(5)|a·b|≤|a||b|.

(1)a·b=b·a;
(2)(λa)·b=a·(λb)=λ(a·b)=λa·b(λ为实数);
(3)(a+b)·c=a·c+b·c.

设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2,由此得到
(1)若a=(x,y),则|a|2=x2+y2或|a|=.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点间的距离|AB|=||=.
(3)设两个非零向量a,b,a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔x1x2+y1y2=0.
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量,而不是向量.( √)
(2)两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( √)
(3)在四边形ABCD中,=且·=0,则四边形ABCD为矩形.( × )
(4)两个向量的夹角的范围是[0,].( × )
(5)由a·b=0可得a=0或b=0.( × )
(6)(a·b)c=a(b·c).( × )
°,且|a|=1,|2a-b|=1,则|b|=________.
答案
解析由题意可得a·b=|b|cos 30°=|b|,4a2-4a·b+b2=1,即4-2|b|+b2=1,由此求得|b|=.
2.(2015·山东改编)已知菱形ABCD 的边长为a,∠ABC=60°,则·=________.
答案 a2
解析如图所示,
由题意,得BC=a,CD=a,∠BCD=120°.
BD2=BC2+CD2-2BC·CD·cos 120°=a2+a2-2a·a×=3a2,
∴BD=a.
∴·=||||cos 30°
=a2×=a2.
,e2的夹角为α,且cos α=,若向量a=3e1-2e2,则|a|=________.
答案 3
解析∵|a|2=a·a=(3e1-2e2)·(3e1-2e2)
=9|e1|2-12e1·e2+4|e2|2=9-12×1×1×+4=9.∴|a|=3.
,B,C为圆O上的三点,若=(+),则与的夹角为________.
答案 90°
解析由=(+)可知点O为BC的中点,即BC为圆O的直径,又因为直径所对的圆周角为直角,所以∠BAC=90°,所以与的夹角为90°.
5.(教材改编)已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角θ=120°,则向量b在向量a方向上的投影为________.
答案-2
解析由数量积的定义知,b在a方向上的投影为
|b|cos θ=4×cos 120°=-2.
题型一平面向量数量积的运算
例1 (1)(2015·四川)设四边形ABCD为平行四边形,||=6,||=4,若点M,N满足=3,=2,则·=________.
(2)已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则·的值为________;·的最大值为________.
答案(1)9 (2)1 1
解析(1)=+,
=-=-+,
∴·=(4+3)·(4-3)
=(162-92)=(16×62-9×42)=9.
(2)方法一以射线AB,AD为x轴,y轴的正方向建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),设
E(t,0),t∈[0,1],则=(t,-1),=(0,-1),所以·=(t,-1)·(0,-1)=1.
因为=(1,0),
所以·=(t,-1)·(1,0)=t≤1,
故·的最大值为1