2012年全国中考数学选择填空解答压轴题分类解析汇编_专题8_定值问题[1] 2.doc

2012年全国中考数学选择填空解答压轴题分类解析汇编
专题8:定值问题
一、选择题
二、填空题
三、解答题
1. (2012江西南昌8分)如图,已知二次函数L1:y=x2﹣4x+(点A在点B左边),与y轴交于点C.
(1)写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标;
(2)研究二次函数L2:y=kx2﹣4kx+3k(k≠0).
①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质;
②若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点,问线段EF的长度是否发生变化?如果不会,请求出EF的长度;如果会,请说明理由.
【答案】解:(1)∵抛物线,
∴二次函数L1的开口向上,对称轴是直线x=2,顶点坐标(2,﹣1)。
(2)①二次函数L2与L1有关图象的两条相同的性质:
对称轴为x=2;都经过A(1,0),B(3,0)两点。
②线段EF的长度不会发生变化。
∵直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点,
∴kx2﹣4kx+3k=8k,∵k≠0,∴x2﹣4x+3=8。解得:x1=﹣1,x2=5。
∴EF=x2﹣x1=6。∴线段EF的长度不会发生变化。
【考点】二次函数综合题,二次函数的性质。
【分析】(1)抛物线y=ax2+bx+c中:a的值决定了抛物线的开口方向,a>0时,抛物线的开口向上;a<0时,抛物线的开口向下。抛物线的对称轴方程和顶点坐标,可化为顶点式或用公式求解。
(2)①新函数是由原函数的各项系数同时乘以k所得,因此从二次函数的图象与解析式的系数的关系入手进行分析。
②联立直线和抛物线L2的解析式,先求出点E、F的坐标,从而可表示出EF的长,若该长度为定值,则线段EF的长不会发生变化。
2. (2012江苏苏州9分)如图,正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合,将正方形ABCD
以1cm/s的速度沿FG方向移动,,边AD始终与边FG重合,
连接CG,过点A作CG的平行线交线段GH于点P,,矩形EFGH
的边FG、GH的长分别为4cm、(s),线段GP的长为y(cm),其中
0≤x≤.
⑴试求出y关于x的函数关系式,并求出y =3时相应x的值;
⑵记△DGP的面积为S1,△-S2是常数;
⑶当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时,求线段PD的长.
【答案】解:(1)∵CG∥AP,∴∠CGD=∠PAG,则。∴。
∵GF=4,CD=DA=1,AF=x,∴GD=3-x,AG=4-x。
∴,即。∴y关于x的函数关系式为。
当y =3时,,解得:x=。
(2)∵,
∴为常数。
(3)延长PD交AC于点Q.
∵正方形ABCD中,AC为对角线,∴∠CAD=45°。
∵PQ⊥AC,∴∠ADQ=45°。
∴∠GDP=∠ADQ=45°。
∴△DGP是等腰直角三角形,则GD=GP。
∴,化简得:,解得:。
∵0≤x≤,∴。
在Rt△DGP中,。
【考点】正方形的性质,一元二次方程的应用,等腰直角三角形的性质,矩形的性质,解直角三角形,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。
【分析】(1)根据题意表示出AG、GD的长度,再由可解出x的值。
(2)利用(1)得出的y与x的关系式表示出S1、S2,然后作差即可。
(3)延长PD交AC于点Q,然后判断△DGP是等腰直角三角形,从而结合x的范围得出x的值,在Rt△DGP中,解直角三角形可得出PD的长度。
3. (2012山东潍坊11分)如图,已知抛物线与坐标轴分别交于A(-2,O)、B(2,0)、C(0,-l)三点,过坐标原点O的直线y=kx与抛物线交于M、、D(0,-2)作平行于x轴的直线、.
(1)求抛物线对应二次函数的解析式;
(2)求证以ON为直径的圆与直线相切;
(3)求线段MN的长(用k表示),并证明M、N两点到直线的距离之和等于线段MN的长.
【答案】解:(1)设抛物线对应二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,
则解得。
∴抛物线对应二次函数的解析式所以。
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),因为点M、N在抛物线上,
∴,∴x22=4(y2+1)。
又∵,∴。
又∵y2≥-l,∴ON=2+y2。
设ON的中点E,分别过点N、E向直线作垂线,垂足为P、F, 则,
∴ON=2EF,
即ON的中点到直线的距离等于ON长度的一半,
∴以ON为直径的圆与相切。
(3)过点M作MH⊥NP交NP于点H,则,
又∵y1=kx1,y2=kx2,∴(y2-