等比数列基础习题选(附详细解答).doc

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.±2C.﹣ {an}中,假设a3a4a5a6a7=243,那么的值为〔〕 ,使前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,那么这两个数的和是〔〕 . ,a2,9,…,那么该等比数列的公比为〔〕 ﹣. 25.〔2024?江西〕数列{an}的前n项和sn满足:sn+sm=sn+m,且a1=1,那么a10=〔〕 {an}中,前7项和S7=16,又a12+a22+…+a72=128,那么a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6+a7=〔〕 . {an}的前n项和为Sn,a1=1,假设4a1,2a2,a3成等差数列,那么S4=〔〕 〔共3小题〕{an}中,a1=1,an=2an﹣1+3,那么此数列的一个通项公式是_________ . . {an}的首项a1=﹣1,前n项和为Sn,假设,那么公比q等于_________ . 参考答案与试题解析 〔共27小题〕1.〔2024?浙江〕{an}是等比数列,a2=2,a5=,那么公比q=〔〕 .﹣:::根据等比数列所给的两项,写出两者的关系,第五项等于第二项与公比的三次方的乘积,代入数字,求出公比的三次方,:解:∵{an}是等比数列,a2=2,a5=,设出等比数列的公比是q,∴a5=a2?q3,∴==,∴q=,应选D点评:此题考查等比数列的根本量之间的关系,假设等比数列的两项,那么等比数列的所有量都可以求出,只要简单数字运算时不出错,问题可解. 2.〔2024?湖北〕在等比数列{an}中,a1=1,a10=3,那么a2a3a4a5a6a7a8a9=〔〕 ::由等比数列的性质知〔a2a9〕=〔a3a8〕=〔a4a7〕=〔a5a6〕=〔a1a10〕.解答:解:因为数列{an}是等比数列,且a1=1,a10=3,所以a2a3a4a5a6a7a8a9=〔a2a9〕〔a3a8〕〔a4a7〕〔a5a6〕=〔a1a10〕4=34=81,应选A点评:此题主要考查等比数列的性质. 3.〔2024?北京〕如果﹣1,a,b,c,﹣9成等比数列,那么〔〕 =3,ac==﹣3,ac==3,ac=﹣=﹣3,ac=﹣9考点:::解:由等比数列的性质可得ac=〔﹣1〕×〔﹣9〕=9,b×b=9且b与奇数项的符号相同,∴b=﹣3,应选B点评:此题主要考查等比数列的等比中项的应用. ,a1,a2,4成等差数列,1,b1,b2,b3,4成等比数列,那么的值是〔〕 .﹣﹣:等差数列的通项公式;::由1,a1,a2,4成等差数列,利用等差数列的性质求出等差d的值,进而得到a2﹣a1的值,然后由1,b1,b2,b3,4成等比数列,求出b2的值,:解:∵1,a1,a2,4成等差数列,∴3d=4﹣1=3,即d=1,∴a2﹣a1=d=1,又1,b1,b2,b3,4成等比数列,∴b22=b1b3=1×4=4,解得b2=±2,又b12=b2>0,∴b2=2,那么=.应选A点评:此题以数列为载体,考查了等比数列的性质,以及等差数列的性质,熟练掌握等比、等差数列的性质是解此题的关键,等比数列问题中符号的判断是易错点 {an}满足a2a4=1,S3=13,bn=log3an,那么数列{bn}的前10项和是〔〕 .﹣.﹣25考点:等差数列的前n项和;::由题意可得=a2a4=1,解得a3=1,由S3=13可得a1+a2=12,,那么有a1q2=1,a1+a1q=12,解得q和a1的值,由此得到an的解析式,从而得到bn的解析式,:解:∵正项等比数列{an}满足a2a4=1,S3=13,bn=log3an,∴=a2a4=1,解得a3=+a2+a3=13,可得a1+a2=,那么有a1q2=1,a1+a1q=12,解得q=,a1==9×=33﹣=log3an=3﹣n,那么数列{bn}是等差数列,它的前10项和是=﹣25,:此题主要考查等比数列的定义和性质,等比数列的通项公式,等差数列的前n项和公式的应用,求出an=33﹣n,是解题的关键,属于根底题. {an}中,a6+a2=34,a6﹣a2=30,那么a4等于〔〕 .±8D.±16考点:::要求a4,就要知道等比数列的通项公式,所以根据的两个等式左右两边相加得到a6,左右两边相减得到a2,根据等比数列的性质列出两个关于首项和公比的关系式,联立求出a和q,得到等比数列的通项公式,令n=:解:设此等比数列的首项为a,公比为q,由a6+a2=34,a6﹣a2=30两个等式相加得到2a6=64,解得a6=32;两个等式相减得到2a2=4,解得a2==aq5=32①,a2=aq=2②,把②代入①得q4=16,所以q=2,代入②解得a=1,所以等比数列的通项公式an=2n﹣1,那么a4=23=:此题要求学生灵巧运用等比数列的性质解决数学问题,. {an}满足,其中λ为实常数,那么数列{an}〔〕 ,也不可能是等比数列 ,但可能是等比数列 ,但不可能是等比数列 ,也可能是等比数列考点:等差关系确实定;::由于=n2+n﹣λ,而n2+n﹣λ不是固定的常数,,那么由a1+a3=2a2,解得λ=3,此时,,显然,不满足等差数列的定义,:解:由可得=n2+n﹣λ,由于n2+n﹣λ不是固定的常数,,那么应有a1+a3=2a2,解得λ=,,显然,此数列不是等差数列,:此题主要考查等差关系确实定、等比关系确实定,属于中档题. {an}的前n项和为Sn,假设对于任意n∈N*,点Pn〔n,Sn〕都在直线y=3x+2上,那么数列{an}〔〕 :等比关系确实定;::由点Pn〔n,Sn〕都在直线y=3x+2上,可得Sn=3n+2,再利用an=Sn﹣Sn﹣:解:由题意,∵点Pn〔n,Sn〕都在直线y=3x+2上∴Sn=3n+2当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=3当n=1时,a1=5∴数列{an}既不是等差数列也不是等比数列应选D点评:此题的考点是等比关系确实定,主要考查由前n项和求数列的通项问题,关键是利用前n项和与通项的关系. 9.〔2024?北京〕{an}为等比数列,下面结论中正确的选项是〔〕 +a3≥2a2B. =a3,那么a1=>a1,那么a4>a2考点:::a1+a3=,当且仅当a2,q同为正时,a1+a3≥2a2成立;,所以;假设a1=a3,那么a1=a1q2,从而可知a1=a2或a1=﹣a2;假设a3>a1,那么a1q2>a1,而a4﹣a2=a1q〔q2﹣1〕,其正负由q的符号确定,:解:设等比数列的公比为q,那么a1+a3=,当且仅当a2,q同为正时,a1+a3≥2a2成立,故A不正确;,∴,故B正确;假设a1=a3,那么a1=a1q2,∴q2=1,∴q=±1,∴a1=a2或a1=﹣a2,故C不正确;假设a3>a1,那么a1q2>a1,∴a4﹣a2=a1q〔q2﹣1〕,其正负由q的符号确定,:. 10.〔2024?辽宁〕假设等比数列an满足anan+1=16n,那么公比为〔〕 :::令n=1,得到第1项与第2项的积为16,记作①,令n=2,得到第2项与第3项的积为256,记作②,然后利用②÷①,利用等比数列的通项公式得到关于q的方程,求出方程的解即可得到q的值,:解:当n=1时,a1a2=16①;当n=2时,a2a3=256②,②÷①得:=16,即q2=16,解得q=4或q=﹣4,当q=﹣4时,由①得:a12×〔﹣4〕=16,即a12=﹣4,无解,所以q=﹣4舍去,那么公比q=:此题考查学生掌握等比数列的性质,灵巧运用等比数列的通项公式化简求值,,要经过判断得到满足题意的q的值,即把q=﹣4舍去. 11.〔2024?江西〕等比数列{an}中,|a1|=1,a5=﹣8a2,a5>a2,那么an=〔〕 A.〔﹣2〕n﹣1B.﹣〔﹣2n﹣1〕C.〔﹣2〕nD.﹣〔﹣2〕n考点:::根据等比数列的性质,由a5=﹣8a2得到等于q3,求出公比q的值,然后由a5>a2,利用等比数列的通项公式得到a1大于0,化简|a1|=1,得到a1的值,:解:由a5=﹣8a2,得到=q3=﹣8,解得q=﹣2,又a5>a2,得到16a1>﹣2a1,解得a1>0,所以|a1|=a1=1那么an=a1qn﹣1=〔﹣2〕n﹣1应选A点评:此题考查学生灵巧运用等比数列的性质及前n项和的公式化简求值,是一道中档题. {an}中,a6﹣2a3=2,a5﹣2a2=1,那么等比数列{an}的公比是〔〕 A.﹣:::根据等比数列的通项公式化简的两等式,得到关于首项和公比的两个方程,分别记作①和②,把①提取q后,得到的方程记作③,把②代入③:解:由a6﹣2a3=2,a5﹣2a2=1得:,由①得:q〔a1q4﹣2a1q〕=2③,把②代入③得:q=:此题考查学生灵巧运用等比数列的通项公式化简求值,掌握等比数列的性质,是一道根底题. {an}中,a2a5=10,那么lga3+lga4=〔〕 A.﹣:::等比数列的定义和性质,得到a3a4=10,故有lga3+lga4=lga3a4=lg10=:解:∵正项等比数列{an}中,a2a5=10,∴a3a4=10,∴lga3+lga4=lga3a4=lg10=1,:此题考查等比数列的定义和性质,得到a3a4=10,是解题的关键. {bn}中,b3?b9=9,那么b6的值为〔〕 .±3C.﹣:::在等比数列{bn}中,由b3?b9=b62=9,:解:∵在等比数列{bn}中,b3?b9=b62=9,∴b6=±:此题考查等比数列的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化. 15.〔文〕在等比数列{an}中,,那么tan〔a1a4a9〕=〔〕 ::由,根据等比数列{an}的通项公式得a1a4a9=,再结合三角函数的性质可求出tan〔a1a4a9〕:解:∵,∴a1a4a9=,∴tan〔a1a4a9〕=.:此题考查等比数列的性质和应用,解题时要注意三角函数的等价转换. {an}满足a4+a8=﹣3,那么a6〔a2+2a6+a10〕=〔〕 .﹣3考点:::根据等比数列的性质假设m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,那么有aman=apaq可得a6〔a2+2a6+a10〕=〔a4+a8〕2,:解:由题意可得:在等比数列{an}中,假设m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,那么有aman=〔a2+2a6+a10〕=a6a2+2a6a6+a10a6,所以a6a2+2a6a6+a10a6=〔a4+a8〕2=:解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的通过性质,并且结合正确的运算,一般以选择题的形式出现. {an}的前n项和为Sn,假设=3,那么=〔〕 :::首先根据等比数列的前n项和对=3进行化简,求出q3,:解:∵=3,∴整理得,1+q3=2,∴q3=2∴=:此题考查了等比数列的关系,注意在题中把q3当作未知数,会简化运算. {an}中,an>0,a2=1﹣a1,a4=9﹣a3,那么a4+a5=〔〕 :::首先根据等比数列的性质求出q=3和a1=的值,然后代入a4+a5=a1q3+a1q4=:解:∵a2=1﹣a1,a4=9﹣a3∴a1q+a1=1①a1q3+a1q2=9②两式相除得,q=±3∵an>0∴q=3a1=∴a4+a5=a1q3+a1q4=:此题考查了等比数列的性质,熟练掌握性质是解题的关键,属于根底题. {an}中a2=3,那么a1a2a3=〔〕 :::由等比数列的性质可得:a1a2a3=a23,:解:由等比数列的性质可得:a1a2a3=a23,因为a2=3,所以a1a2a3=a23=:此题考查了等比数列的性质,解题的关键a1an=a2an﹣1=…=akan﹣k,属于中档题. {an}各项均为正数且a4a7+a5a6=16,log2a1+log2a2+…+log2a10=〔〕 +log25考点:::先用等比数列{an}各项均为正数,结合等比数列的性质,可得a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=a5a6>0,从而a1a2a3…a9a10=〔a5a6〕5,然后用对数的运算性质进行化简求值,:解:∵等比数列{an}各项均为正数∴a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=a5a6>0∵a4a7+a5a6=16∴a5a6=a4a7=8根据对数的运算性质,得log2a1+log2a2+…+log2a10=log2〔a1a2a3…a9a10〕=log2〔a5a6〕5=log2〔8〕5=15∵〔8〕5=〔23〕5=215∴log2〔8〕5=log2215=15应选A点评:此题考查了等比数列的性质和对数的运算性质,考查了转化化归的数学思想,属于根底题. {an}中a4,a8是方程x2+3x+2=0的两根,那么a5a6a7=〔〕 .±2C.﹣:::根据等比数列的性质得到第6项的平方等于第4项与第8项的积,又根据韦达定理,由a4,a8是方程x2+3x+2=0的两根即可得到第4项与第8项的积,进而求出第6项的值,然后把所求的式子也利用等比数列的性质变为关于第6项的式子,:解:根据等比数列的性质得:a62=a4a8,又a4,a8是方程x2+3x+2=0的两根,得到a4a8=2,那么a62=2,解得a6=±,那么a5a6a7=〔a5a7〕a6=a63=±:此题考查学生灵巧运用等比数列的性质及韦达定理化简求值,是一道根底题. {an}中,假设a3a4a5a6a7=243,那么的值为〔〕 :::先利用等比数列通项的性质,求得a5=3,再将化简,:解:∵等比数列{an}中,假设a3a4a5a6a7=243,∴∴a5=3设等比数列的公比为q∵==∴=3