福建省长泰名校2023学年高考数学一模试卷(含解析).pdf

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0?【答案解析】要求两条异面直线所成的角,需要通过见中点找中点的方法,找出边的中点,连接出中位线,得到平行,从而得到两条异面直线所成的角,得到角以后,再在三角形中求出角.【题目详解】取AC的中点E,连AE,BE,易证BE?A于点E,∴?ABE为异面直线AB与BD所成角,11111111:..3BE1设等边三角形边长为a,易算得BE=a,AB?3a∴在Rt?ABE中,cos?ABE=1?1111AB221∴?ABE?60?1故答案为60?【答案点睛】本题考查异面直线所成的角,本题是一个典型的异面直线所成的角的问题,解答时也是应用典型的见中点找中点的方法,注意求角的三个环节,一画,二证,三求.?7216、26【答案解析】?12?根据三角函数定义表示出x?cos?,由同角三角函数关系式结合cos(??)??求得sin(??),而04134??????x?cos??cos???,展开后即可由余弦差角公式求得x的值.????0?4?40??【题目详解】点P(x,y)在单位圆O上,设?xOP??,00由三角函数定义可知cos??x,sin??y,00?3?????因为??(,),则????,??,444?2???1225??????所以由同角三角函数关系式可得sin???1?cos2???1???,???????4??4??13?13??????所以x?cos??cos?????0????4?4??????????cos????cos?sin????sin?4?4?4?4:..12252?72??????13213226?72故答案为:.26【答案点睛】本题考查了三角函数定义,同角三角函数关系式的应用,余弦差角公式的应用,、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)l:y?2x?1,C:x2??y?1?2?1;(2)25【答案解析】tl??2sin??C(1)消去参数求得直线的普通方程,将两边同乘以,化简求得圆的直角坐标方程.(2)求得直线l的标准参数方程,代入圆的直角坐标方程,化简后写出韦达定理,根据直线参数的几何意义,求得MA?MB的值.【题目详解】(1)消去参数t,得直线l的普通方程为y?2x?1,??2sin???2?2?sin?2??2将两边同乘以得,x?y?1?1,∴圆C的直角坐标方程为x2??y?1?2?1;?5?x?1?t?x?t?5M?1,3?l(2)经检验点在直线上,?可转化为?①,?y?1?2t25?y?3?t?5?22?5??25?将①式代入圆C的直角坐标方程为x2??y?1?2?1得?1?t???t?2??1,?5??5?????化简得t2?25t?4?0,设t,t是方程t2?25t?4?0的两根,则t?t??25,tt?4,121212∵tt?4?0,∴t与t同号,1212由t的几何意义得MA?MB?t?t?t?t?【答案点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程,考查利用直线参数的几何意义求解距离问题,:..、(1)a??1;(2)?2e?m?或m?e4e3【答案解析】?x?xx(1)根据解析式求得导函数,设切点坐标为x,e0?2x,结合导数的几何意义可得方程xe0?e0?1?0,构造000h?x??xex?ex?1h??x?h?x?h?0??0x?0函数,并求得,由导函数求得有最小值,进而可知由唯一零点,即可0代入求得a的值;x2?3x2?3f?x???x?g?x??(2)将解析式代入,结合零点定义化简并分离参数得m?,构造函数,根据题意可exexx2?3y?m??g??x?g??x??0g?x?知直线与曲线gx?有两个交点;求得并令求得极值点,列出表格判断的单调ex性与极值,即可确定与y?m有两个交点时m的取值范围.【题目详解】f?x??ex?2xf??x??ex?2(1)依题意,,,?x???x设切点为x,e0?2x,f?x?e0?2,000?ax?1?ex0?2x故?00,ex0?2?a??x?xxx故xe0?2?1?e0?2x,则xe0?e0?1?0;000h?x??xex?ex?1h??x??xex令,,x????,0?h??x??0故当时,,x??0,???h??x??0当时,,x?0h?x?故当时,函数有最小值,h?0??0h?x??0由于,故有唯一实数根0,即x?0,则a??1;0????x2?3(2)由?x?mfx?2mx?x2?3?mex?x2?3?0,得m?.exx2?3??x???2,4?y?m??x???2,4?所以“在区间上有两个零点”等价于“直线与曲线gx?在有两个交点”;ex:..?x2?2x?3由于g??x??.exg??x??0x??1x?3由,解得,.12xg??x?g?x?当变化时,与的变化情况如下表所示:x??2,?1???1,3??3,4??13g??x???0+0g?x?极小值极大值g?x???2,?1??3,4???1,3?所以在,上单调递减,??2??e2g??1???2e又因为,,613g?3???g??2?g?4???g??1?,,e3e4136x2?3y?m??x???2,4?故当?2e?m?或m?时,直线与曲线gx?在上有两个交点,e4e3ex136????即当?2e?m?或m?时,函数?x在区间?2,【答案点睛】本题考查了导数的几何意义应用,由切线方程求参数值,构造函数法求参数的取值范围,函数零点的意义及综合应用,、(1)?;(2)或22【答案解析】?(1)利用平面向量数量积的坐标运算可得f(x)?2sin(2x?),利用正弦函数的周期性即可求解;(2)由(1)可求3?3??5?sin(2A?)?,结合范围?2A?,可求A的值,由余弦定理可求c的值,进而根据三角形的面积公32333式即可求解.【题目详解】f?x??a?b?2sinxcosx?3(2cos2x?1)(1):..??sin2x?3cos2x?2sin(2x?)32?∴最小正周期T???.2??????f?x??2sin2x?f?A??2sin2A??3(2)由(1)知??,∴???3??3????3??5?∴sin?2A???,又??2A???3?2333???2???∴2A??或2A?=.解得A?或A?333332?当A?时,由余弦定理得a2?b2?c2?osA3??2?即3?12?c2?2?os,解得c=?3此时S?bcsinA??1?2sin?.?ABC2232?当A?时,由余弦定理得a2?b2?c2???2?即3?12?c2?2?os,解得c=?2此时S?bcsinA??2?1?sin?.?ABC2222【答案点睛】本题主要考查了平面向量数量积的坐标运算、正弦函数的周期性,考查余弦定理、三角形的面积公式在解三角形中的综合应用,考查了转化思想和分类讨论思想,、(1)证明见解析(2)7【答案解析】(1)由底面ABCD为菱形,得BD?AC,再由PA?底面ABCD,可得PA?BD,结合线面垂直的判定可得BD?平面PAC;AAD,APAPADx,z,y(2)以点为坐标原点,以所在直线及过点且垂直于平面的直线分别为轴建立空间直角坐标系A?xyz,分别求出平面PAB与平面PCD的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值可得平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值.【题目详解】:..(1)证明:底面ABCD为菱形,?BD?AC,PA?底面ABCD,BD?平面ABCD,?PA?BD又AC?PA?A,AC,PA?平面PAC,?BD?平面PAC;(2)解:AB?AD,?BAD?60?,?ABD为等边三角形,3?AC?AD?sin60??2?4??2??底面ABCD,??PCA是直线PC与平面ABCD所成的角为30?,PAPA3在Rt△PAC中,由tan?PCA???,解得PA?,以点A为坐标原点,以AD,AP所在直线及过点A且垂直于平面PAD的直线分别为x,z,y轴建立空间直角坐标系A?(0,0,4),A(0,0,0),B(2,23,0),D(4,0,0),C(6,23,0).?PA?(0,0,?4),PB?(2,23,?4),PD?(4,0,?4),PC?(6,23,?4).设平面PAB与平面PCD的一个法向量分别为m?(x,y,z),n??x,y,z?.111????m?PA??4z?0由?,取y??1,得m?(3,?1,0);????m?PB?2x?23y?4z?0????n?PC?6x?23y?4z?0由?111,取y??1,得n?(3,?1,3).n?PD?4x?4z?01????11m?n27?cos?m,n???.|m|?|n|727?:..【答案点睛】本题考查直线与平面垂直的判定,考查空间想象能力与思维能力,训练了利用空间向量求解空间角,、(1)见解析;(2)3【答案解析】(1)记ACBD?O,连结PO,推导出BD?PO,BD?平面PAC,由此能证明平面PAC?平面ABCD;(2)推导出PH?AC,PH?平面ABCD,连结HB,由题意得H为?ABD的重心,BC?BH,从而平面PHB?平面PBC,进而?HPB是PH与平面PBC所成角,由此能求出PH与平面PBC所成角的正弦值.【题目详解】(1)证明:记ACBD?O,连结PO,?PBD中,OB?OD,PB?PD,?BD?PO,BD?AC,ACPO?O,?BD?平面PAC,BD?平面ABCD,?平面PAC?平面ABCD.?(2)?POB中,?POB?,OB?1,PB?2,?PO?1,23AO?3,OH?,362?PH2?()2?,?PH2?PO2?OH2,33?PH?AC,?PH?平面ABCD,∴?PH?BC,连结HB,由题意得H为?ABD的重心,????HBO?,?HBC?,?BC?BH,?BC?平面PHB62?平面PHB?平面PBC,∴H在平面PBC的射影落在PB上,??HPB是PH与平面PBC所成角,623?Rt?PHB中,PH?,PB?2,?BH?,33BH2316?sin?BPH????.BP3236?:..【答案点睛】本题考查面面垂直的证明,考查线面角的正弦值的求法,考查线线、线面、面面的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,、(1)见解析,(2)①z??2②20【答案解析】(1)运用分层抽样,结合总场次为100,可求得a,a,a,a的值,再运用古典概型的概率计算公式可求解果;123477?(x?x)2,?(x?x)(z?z)zx(2)①由公式可计算的值,进而可求与的回归直线方程;iiii?1i?1②求出g(x),再对函数求导,结合单调性,可估计这四个篮球馆月惠值最大时x的值.【题目详解】251解:(1)抽样比为?,所以a,a,a,a分别是,6,7,8,510041234所以两数之和所有可能取值是:10,12,13,151111p???10??p???12??p???13??p???15??,,,6336所以分布列为1111期望为E(?)?10??12??13??15???(x?x)2?700,?(x?x)(z?z)?70,(2)因为iiii?1i?17?(x?x)(z?z)ii701所以b?i?1,??,a???25?2,770010?(x?x)2ii?1?z??2;y②??2,z??2:..401??lnx设y4343lnxx,g(x)??,g?(x)?4343x?40x?40(x?40)2所以当x?[0,20],g?(x)?0,g(x)递增,当x?[20,??),g?(x)?0,g(x)递减所以约惠值最大值时的x值为20【答案点睛】本题考查直方图的实际应用,涉及求概率,平均数、拟合直线和导数等问题,关键是要读懂题意,属于中档题.