山东省实验中学2024届高三第一次诊断考试数学试题(解析版).pdf

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62023,【详解】令x?1得62023???1?7?2023??1?C17?C272?C373???72023,由于202320232023由于第9页/共18页:..62023???1?7?2023??1?C17?C272?C373???72023?6?7?C17?C272?C373???72023202320232023202320232023,?7+C17?C272?C373???72023均能被7整除,所以余数为6,202320232023故答案为:6f?x??2sin??cosx??1?0,2π??,则的取值范围是______.?π5π??5ππ?【答案】,??,??????66??66?【解析】【分析】??0,2π?cosx???1,1?y?cosxx?π【详解】在时,,此时的图象关于直线对称,??0?cosx????,??若,则,π5π?x??k?k???x??k?k??f?x??2sin??cosx??1?0易知cos2πZ或cos2πZ时,,665πππ????cosx因为恰有两个零点,故,此时只能取到,如下图所示,符合题意;666π5π??0?cosx???,????????若,则,同上,有,66π?cosx此时只能取到,如下图所示,符合题意;6第10页/共18页:..?π5π??5ππ?综上??,??,?.?????66??66??π5π??5ππ?故答案为:,??,?.?????66??66??y??cosx【点睛】本题关键在于对符号的讨论,还需要考虑到的对称性,、解答题:本题共6小题,、?ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A?120?,b?1,c?2.(1)求sinB;(2)若D为BC上一点,且?BAD?90?,求△【答案】(1)143(2)10【解析】【分析】(1)根据余弦定理求解a,即可由三边求解cosB,进而可求正弦值,(2):高中试卷君【小问1详解】由余弦定理可得:BC2?a2?b2?c2?osA?1?4?2?2?1?cos120??7,a2?c2?b27?4?157则BC?7,cosB???,2ac2?2?714第11页/共18页:..2521B??0,π?sinB?1?cos2B?1??.,所以2814【小问2详解】1?AB?AD?sin90?S2△ABD??4由三角形面积公式可得,S1△ACD?AC?AD?sin30?211?1?3则S?S???2?1?sin120??.ACDABC??△5△5?2?10?a?,且S?n2??a?的通项公式;(1)求n?a,n为奇数?n?b?满足b??b?的前2n项和T.(2)若数列?a,求数列nnnn2n?22,n为偶数?a?2n【答案】(1)n4n?1?4(2)2n2?3【解析】a?S?S【分析】(1)根据即可求解,nnn?1(2)根据分组求和,结合等差等比数列的求和公式即可求解.【小问1详解】n?2aSSn2n?n1?2?n1?2n当时,?????????,nnn?1n?1a?S?2,,111a?【小问2详解】第12页/共18页:..?2n,n为奇数b?由(1)可知?,n2n,n为偶数?T??2?6?10?????4n?2???22?24?26?????22n?所以2n??4?14n?n2?4n?2?4n?1?4???2n2?.21?,某公园拟在长为8(百米)的道路OP的一侧修建一条运动跑道,跑道的前一部分为曲线段OSM,??????该曲线段为函数y?Asin?xA?0,??0,x?0,4的图象,且图象的最高点为S3,23,,限定?MNP?120?.(1)求A,?;(2)求折线段跑道MNP长度的最大值.?【答案】(1)A?23,??6103(2)百米3【解析】【分析】(1)由图象即可得A和函数的周期,继而求得?;(2)解法一,由(1)的函数解析式,即可求得M点坐标,求出MP的长,在△MNP中利用余弦定理结合基本不等式即可求得答案;解法二,在△MNP中利用正弦定理求得NP?MN的表达式,结合三角恒等变换化简,即可求得答案.【小问1详解】T依题意,有A?23,?3,则T?12,42π?又T?,∴??;?6【小问2详解】πy?(1)知,62π??y?23sin?3,∴M4,?4时,3第13页/共18页:..P?8,0?22又,∴MP?4?3?:在△MNP中,?MNP?120?,MP?5,由余弦定理得MN2?NP2?2MN?NP?cos?MNP????故?MN?NP??25?MN?NP?,???2?310353?MN?NP?2?25,即MN?NP?MN?NP?从而,:在△MNP中,?MNP?120?,MP??PMN??,则0????60?.MPNPMN由正弦定理得??,sin120?sin?sin?60????103103∴NP?sin?,MN?sin?60????.33103103故NP?MN?sin??sin?60????33103?13?103?sin??cos??sin???60????.3?22?3??103103∵0????60?,∴当??30?时,sin???60??取到最大值,33即折线段赛道MNP最长,?x?g?x?f?x??g?x??、分别为定义域为R的偶函数和奇函数,:..f?x?(1)求的单调区间;x3?g2?x??af?x??0成立,求实数a(2)?x??0,??????,0?【答案】(1)的增区间为,减区间为???,22?(2)?【解析】f?x??g?x??ex将x?xf?x?g?x?【分析】(1)对于换成结合奇偶性求出、的解析式,在利用导数求出函数的单调区间;t2?4t8(2)设t?ex?e?x,则问题转化为3??a??0在t?2时恒成立,参变分离可得2a?t?,再利42t8t?a用基本不等式求出的最小值,【小问1详解】f?x??g?x??xf?x?g?x?因为e①,、分别为定义域为R的偶函数和奇函数,f??x??f?x?g??x???g?x?所以,,f??x??g??x??e?xf?x??g?x??e?x所以,即②,11f?x??exe?x?g?x??exe?x?①②解得??,??,2211f??x??exe?x?g??x??exe?x?0所以??,???,221f??x?g?x?f??0???e0?e0??0所以()在定义域R上单调递增,又,2f￠(x)>0f?x??0,???所以当x?0时,即的单调递增区间为,x?0f??x??0f?x????,0?当时,即的单调递减区间为.【小问2详解】公众号:高中试卷君设t?ex?e?x,因为ex?e?x?2ex?e?x?2,当且仅当x?0时取等号,所以t?2,t2?4t3?g2?x??af?x??0恒成立,转化为3a0t?2不等式????在时恒成立,42888分离参数得2a?t?在t?2时恒成立,由均值不等式t??2t??42,当且仅当t?22时取等号,ttt第15页/共18页:..8故t?的最小值为42,所以2a?42?a?22,t?a??,22?.故实数的取值范围为?,每位顾客只用一个会员号登陆,;从第二次摸球开始,若前一次没抽中奖品,则这次抽711P中的概率为,若前一次抽中奖品,?P?(1)求的值,并探究数列的通项公式;2n(2)求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大,?1??【答案】(1),P???42n??77?6?(2)第二次,证明见解析【解析】P,利用抽奖规则,结合全概率公式即可由等比数列的定义求解,【分析】(1)根据全概率公式即可求解2311n?1??(2)根据P???,??77?6?【小问1详解】2i?i?N*?P?记该顾客第次摸球抽中奖品为事件A,依题意,,1721?2?119PP?A?P?A?P?A|A?P?A?P?A|A?1???????????.22121121737242??11P?A|A?P?A|A?P?P?A?因为?,?,,nn?13nn?12nnP?A?P?A?P?A|A?P?A?P?A|A?所以??,nn?1nn?1n?1nn?11111P?P??1?P???P?所以,n3n?12n?16n?1231?3?P???P?所以??,n76n?17??231又因为P?,则P????0,17177第16页/共18页:..?3?11P???所以数列??是首项为,公比为的等比数列,n776??311n?1??故P???.n??77?6?【小问2详解】31319证明:当n为奇数时,P????,n77?6n?174231P??P随着n的增大而减小,当n为偶数时,,则n776n?1n?19所以,P?P?.n242综上,?x???(1)求a;?x?x??0,1?xf?x?xxx(2)若数列满足,且?,证明:???1nn?1n?3n?2【答案】(1)a?1(2)证明见解析【解析】【分析】(1)首先求函数的导数,并讨论a?0和a?0两种情况讨论函数的单调性,并求函数的最小值,a即可求实数的取值;1x?1n?N*g?x??f?x??x??lnx?xx?1(2)由(1)的结果可知,n?1,,并设,,利用导数判xg?x??g?x?断函数的单调性,根据,?2n?1【小问1详解】a1x?af??x?????,x?①若a?0,f￠(x)>0恒成立,f?x??0,???f?x?可得在上单调递增,没有最小值,不符合题意;a?0f??x??0x?a②若,令,得,0?x?af??x??0x?af￠(x)>0当时,,当时,,第17页/共18页:..f?x??0,a??a,???所以在上单调递减,在上单调递增,f?x??f?a??1?lna?1,所以a?【小问2详解】f?x??0,1??1,???证明:由(1)可得,在上单调递减,在上单调递增,f?x??f?1??1则有,x??0,1?x?f?x??1xf?x?1xf?x?1因为,所以,???????.12132n?1n1令g?x??f?x??x??lnx?x,x?1,x123???x??x2x?????1?2?4,g??x????0x2x2g?x??1,???g?1??0所以在区间上单调递减,且,g?x??f?x??x?0x?f?x?所以,而,n?1n?1n?1n?2n?1x?x所以,n?2n?1g?x??g?x?f?x??x?f?x??x所以,即,n?2n?1n?2n?2n?1n?1x?x?x?xx?x?2x即,?3n?2n?2n?1n?1n?3n?2【点睛】关键点点睛:本题考查利用导数研究函数的最值以及不等式的综合应用问题,第二问是本题的难1g?x??f?x??x??lnx?xx?1x?f?x?点,关键是构造函数,,并结合,?1n第18页/共18页