2024江西单招数学模拟试题.pdf

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n,nnn﹣1c=2n,从而证出结论;n(Ⅲ)通过数列求和求出T的表达式,n=1,2,3,…,作和T+T+T+…+T,放缩法n123n证明即可.【解答】解:(Ⅰ)∵f'(x)=x2﹣1=(x+1)(x﹣1),∴当x∈(1,2),f'(x)>0,f(x)为增函数,,∴a=1.…1同理x∈(2,3)时,f'(x)>0,f(x)为增函数,,∴a=5,∴b=a﹣a=4…2221又∵∴,∴,k=3,4,5,6:..∴c=4.…2(Ⅱ)当n为正整数,且n>1,x∈(n,n+1)时,为增函数,∴f(n)<f(x)<f(n+1),∴∴…∴,b=a﹣a=2n.…nnn﹣1又∵c表示满足的正整数k的个数,n∴∴,∴k=n2﹣n+1,n2﹣n+2,n2﹣n+3,…,n2+n,共2n个.∴c=2n,∴b=c…nnn(Ⅲ)由(Ⅱ)知:=∴==…∴T+T+T+…+T123n:..==…﹣=1的两个焦点分别为F、F,(Ⅰ)求此双曲线的渐近线l、l的方程;12(Ⅱ)若A、B分别为l、l上的点,且2|AB|=5|FF|,求线段AB的中点M的轨迹方程,1212并说明轨迹是什么曲线;(Ⅲ)过点N(1,0)能否作出直线l,使l与双曲线交于P、Q两点,且?=,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.【考点】双曲线的简单性质.【分析】(Ⅰ)运用离心率公式和a,b,c的关系,解方程可得a=1,进而得到双曲线方程;(Ⅱ)设A(x,y),B(x,y),运用代入法,由中点坐标公式和两点的距离公式,即1122可得到中点的轨迹方程和轨迹;(Ⅲ):y=k(x﹣1),l与双曲线交于P(x,y)、Q(x,112y),联立直线方程和双曲线方程,消去y,得到x的方程,运用韦达定理,结合向量的数2量积的坐标公式,即可判断.【解答】解:(Ⅰ)∵e=2,∴c2=4a2∵c2=a2+3,∴a=1,c=2,:..∴双曲线方程为,渐近线方程为;(Ⅱ)设A(x,y),B(x,y),AB的中点M(x,y),1122∵2|AB|=5|FF|12∴,∴,∵,,2x=x+x,2y=y+y1212∴,,∴,∴,即,则M的轨迹是中心在原点,焦点在x轴上,长轴长为,短轴长为的椭圆.(Ⅲ):y=k(x﹣1),l与双曲线交于P(x,y)、Q(x,y),1122∵?=0,∴xx+yy=0,1212∴,∴,∵,∴,:..∴k2+3=0∴k不存在,(x)=ln(ex+a)(a为常数)为实数集R上的奇函数,函数g(x)=λf(x)+sinx是区间[﹣1,1]上的减函数.(1)求a的值;(2)若g(x)≤t2+λt+1在x∈[﹣1,1]及λ所在的取值范围上恒成立,求t的取值范围;(3)讨论关于x的方程的根的个数.【考点】根的存在性及根的个数判断;函数奇偶性的性质;函数恒成立问题.【分析】(1)因为定义域是实数集R,直接利用奇函数定义域内有0,则f(﹣0)=﹣f(0)即f(0)=0,即可求a的值;(2)先利用函数g(x)的导函数g'(x)=λ+cosx≤0在[﹣1,1]上恒成立,求出λ的取值范围以及得到g(x)的最大值g(﹣1)=﹣1﹣sin1;然后把g(x)≤t2+λt+1在x∈[﹣1,1]上恒成立转化为﹣λ﹣sin1≤t2+λt+1(λ≤﹣1),整理得(t+1)λ+t2+sin1+1≥0(λ≤﹣1)恒成立,再利用一次函数的思想方法求解即可.(3)先把方程转化为=x2﹣2ex+m,令F(x)=(x>0),G(x)=x2﹣2ex+m(x>0),再利用导函数分别求出两个函数的单调区间,进而得到两个函数的最值,比较其最值即可得出结论.【解答】解:(1)因为函数f(x)=ln(ex+a)(a为常数)是实数集R上的奇函数,所以f(﹣0)=﹣f(0)即f(0)=0,则ln(e0+a)=0解得a=0,a=0时,f(x)=x是实数集R上的奇函数;:..(2)由(1)得f(x)=x所以g(x)=λx+sinx,g'(x)=λ+cosx,因为g(x)在[﹣1,1]上单调递减,∴g'(x)=λ+cosx≤0在[﹣1,1]上恒成立,∴λ≤﹣1,g(x)=g(﹣1)=﹣λ﹣sin1,max只需﹣λ﹣sin1≤t2+λt+1(λ≤﹣1),∴(t+1)λ+t2+sin1+1≥0(λ≤﹣1)恒成立,令h(λ)=(t+1)+t2+sin1+1(λ≤﹣1)则,解得t≤﹣1(3)由(1)得f(x)=x∴方程转化为=x2﹣2ex+m,令F(x)=(x>0),G(x)=x2﹣2ex+m(x>0),∵F'(x)=,令F'(x)=0,即=0,得x=e当x∈(0,e)时,F'(x)>0,∴F(x)在(0,e)上为增函数;当x∈(e,+∞)时,F'(x)<0,F(x)在(e,+∞)上为减函数;当x=e时,F(x)=F(e)=max而G(x)=(x﹣e)2+m﹣e2(x>0)∴G(x)在(0,e)上为减函数,在(e,+∞)上为增函数;当x=e时,G(x)=m﹣e2min∴当m﹣e2>,即m>e2+时,方程无解;当m﹣e2=,即m=e2+时,方程有一个根;当m﹣e2<,即m<e2+时,方程有两个根;:..请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,.[选修4-1:几何证明选讲],在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,过点D作AC的平行线DE,:(1)△ABC≌△DCB;(2)DE?DC=AE?BD.【考点】相似三角形的判定.【分析】(1)根据梯形为等腰梯形推断出∠ABC=∠DCB,同时根据AB=CD,BC=CB,证明出△ABC≌△DCB.(2)根据(1)中△ABC≌△DCB推断出∠ACB=∠DBC,同时根据AD∥BC和ED∥AC推断出∠EDA=∠DBC,∠EAD=∠DCB,进而根据相似三角形判定定理推断出△ADE∽△CBD,进而根据相似三角形的性质求得DE:BD=AE:CD,推断出DE?DC=AE?BD.【解答】(1)证明:∵等腰梯形ABCD∴∠ABC=∠DCB又∵AB=CD,BC=CB,∴△ABC≌△DCB(2)证明:∵△ABC≌△DCB∴∠ACB=∠DBC,∵AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB,∠EAD=∠ABC∵ED∥AC,∴∠EDA=∠DAC,:..∴∠EDA=∠DBC,∠EAD=∠DCB,∴△ADE∽△CBD∴DE:BD=AE:CD∴DE?DC=AE?BD[选修4-4:坐标系与参数方程]:(x﹣1)2+y2=1的一个交点为P,点M为线段OP的中点.(1)求圆C的极坐标方程;(2)求点M轨迹的极坐标方程,并说明它是什么曲线.【考点】简单曲线的极坐标方程.【分析】(1)利用代入圆C方程即可求得圆C的极坐标方程.(2)先设点P的极坐标为(ρ,θ),点M的极坐标为(ρ,θ),根据点M为线段OP的11中点,得到ρ=2ρ,θ=θ最后将ρ=2ρ,θ=θ代入圆的极坐标方程即可,再写出它表示什1111么曲线.【解答】解:(1)圆(x﹣1)2+y2=1的极坐标方程为ρ=2cosθ.(2)设点P的极坐标为(ρ,θ),点M的极坐标为(ρ,θ),11∵点M为线段OP的中点,∴ρ=2ρ,θ==2ρ,θ=θ代入圆的极坐标方程,得ρ=∴点M轨迹的极坐标方程为ρ=cosθ,它表示圆心在点,半径为的圆.[选修4-5:不等式选讲]:..|x2﹣3x﹣4|>x+1.【考点】绝对值不等式的解法.【分析】原不等式等价于①,或②,最后把①②的解集取并集.【解答】解:原不等式等价于,或,或,∴x>5或x<﹣1或﹣1<x<3.∴原不等式的解集为:{x|x>5或x<﹣1或﹣1<x<3}.