2024年普通高中九省联考仿真模拟数学试题(一)含答案.pdf

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x)+f(?x)≥4或f(x)+f(?x)≤0,又f(0)=2,所以2f(0)=4>0,所以只能f(x)+f(?x)≥4,故B正确;对于C,若f(1)=3,令y=1得,f(x+1)+f(x)=+33f(x)+2,所以f(x+=1)2f(x)?1,所以f(2)=2f(1)?1=6?1=5,所以f(3)2f(2)?110?19,故C正确;()()x对于D,取=fx3+1,()()?()x??()y?()x+y()x()y则fx?fy+2=3+13+1=+23+3+3+3??????????()()()()()x=fx+y+fx+fy且=fx3+1单调递增,4满足f(4)=10,但f(?2)=,、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.{}{}=M2,0,?1,N=xx?a<1,若M∩N的真子集的个数是1,(0,1)?(1,3){}解析N=xx?a<1,则?1<x?a<1,解得?1+a<x<1+a,若M∩N的真子集的个数是1,则M∩N中只含有一个元素,因为a为正实数,则1+a>1,?1+a>?1,??1+a<0?若M?N={0},则1+a≤2,解得,?0<a<1??a>010:..?0≤?1+a<2?若M?N={2},则?1+a>2,解得1<a<3,?a>0?a(0,1)?(1,3).(0,1)?(1,3).综上所述,?ABCD的上、下底面边长分别为4、6,高为2,则正四棱台1111ABCD?ABCD的体积为,、下底面积分别为:S=4=216,S=6=236,121()762所以正四棱台ABCD?ABCD的体积为V=S+SS+S×2=;1111311223连接AC,BD交于点O,连接AC,BD交于点O,如图所示:211111当外接球的球心O在线段OO延长线上,12()2设OO=h,外接球半径为R,则OO=2h?2,12因为OO=2,上、下底面边长分别为4、6,1211则=DO=BD22,=DO=BD32,1121122()2所以R=2DO2+h=2DO2+h?2?=h32,R=26112当外接球的球心O在线段OO延长线上,显然不合题意;21()2当球心O在线段OO之间时,则O=O22?h,同上可得,h=32,;+β?sinγ=0,则α+β?:..解析由题意得:0≤α+β=sinγ≤1,α≥0,β≥0,()2()则α+β=α+β+2αβ≤α+β+α+β=2α+β,当且仅当α=β时等号成立,即α+β≤2(α+β)=2sinγ,即α+β?cosγ≤2sinγ?cosγ,?0≤sinγ≤1π则有?,则2kπ≤γ≤+2kπ,k∈Z,?0≤cosγ≤12?π??π?有sinγ在2kπ,+2kπ单调递增,cosγ在2kπ,+2kπ上单调递减,?2??2??????π?故2sinγ?cosγ在2kπ,+2kπ上单调递增,???2?π则当γ=+2kπ时,即sinγ=1、cosγ=0时,22sinγ?cosγ有最大值2,即α+β?:、解答题:本题共5小题,、.(13分)函数f(x)=ex?2ax?a.(1)讨论函数的极值;(2)当a>0时,求函数f(x)(1)由题意得:f′(x=)ex?2a;………………1分当2a≤0,即a≤0时,f??x??0恒成立,?f?x?在上单调递增,无极值;………………2分R当2a>0,即a>0时,令f′(x)=0,解得:x=ln2a,………………3分∴当x∈(?∞,ln2a)时,f′(x)<0;当x∈(ln2a,+∞)时,f??x??0;?f?x?在(?∞,ln2a)上单调递减,在(ln2a,+∞)上单调递增,………………5分?f?x?的极小值为f(ln2a)=a?2aln2a,无极大值;………………6分综上所述:当a≤0时,f(x)无极值;当a>0时,f(x)极小值为a?2aln2a,无极大值.………………7分12:..(2)由(1)知:当a>0时,f(x)在(?∞,ln2a)上单调递减,在(ln2a,+∞)上单调递增;e()()()当0<a<时,fln2a=a?2aln2a>0,∴fx>0恒成立,fx无零点;……………9分2e()()当a=时,fln2a=a?2aln2a=0,fx有唯一零点x=ln2a;………………10分2e()()()当a>时,fln2a=a?2aln2a<0,又f0=1?a>0,当x趋近于正无穷大时,fx也趋近于正无穷2大,?f?x?在(0,ln2a)和(ln2a,+∞)上各存在一个零点,即f(x)有两个零点;………………12分e()综上所述:当0<a<时,fx无零点;2e()当a=时,fx有且仅有一个零点;2e()当a>时,fx有两个不同的零点.………………13分216.(15分)已知n把相同的椅子围成一个圆环;两个人分别从中随机选择一把椅子坐下.(1)当n=12时,设两个人座位之间空了X把椅子(以相隔位子少的情况计数),求X的分布列及数学期望;(2)若另有m把相同的椅子也围成一个圆环,两个人从上述两个圆环中等可能选择一个,并从中选择一把椅1子坐下,若两人选择相邻座位的概率为,求整数m,n(m>3,n>3)(1)由题意,得随机变量X可以取0,1,2,3,4,5,……………1分12×22P(X=i=)=(=i0,1,2,3,4)3其中,……………分A2111212×11P(X=5=)=,……………4分A21112所以随机变量X的分布列为:X0**********P111111111**********故E(X)=0×+1×+2×+3×+4×+5×=.……………6分111**********(2)记“两人选择n把相同的椅子围成的圆环”为事件A,“两人选择m把相同的椅子围成的圆环”为事件B,“两人选择相邻座位”:..因为两个人从上述两个圆环中等可能选择一个,1111所以P(A)=×=,P(B)=,……………8分2244P(C)=P(AC)+P(BC)=P(A)P(CA)+P(B)P(CB)1n×21m×21?11?=×+×=?+?.……………10分4n(n?1)4m(m?1)2n?1m?1??1111因为P(C)=,所以+=.14n?1m?1749化简,得n=8+.m?84949因为m>3,n>3,n∈N*,所以∈Z,且>??8m?8所以m?8=1,7,49,即m=9,15,57,……………12分?m=9,?m=15,?m=57,此时?或?或??n=57?n=15?n=9.?m=9,?m=15,?m=57,所以m,n的所有可能取值为?或?或?……………15分?n=57?n=15?n=.(15分)如图,在多面体ABCDEF中,底面ABCD为平行四边形,EF//平面AB?CD,?EAB为等边三角形,BC=CE=2AB=2EF,∠ABC=60°.(1)求证:平面EAB⊥平面ABCD;(2)(1)不妨设AB=1,则BC=CE=2,在平行四边形ABCD中,?BC=2,AB=1,∠ABC=60°,连接AC,由余弦定理得AC212+22?2×1×1×cos60°3,即AC=3,……………2分?AC2+AB2=BC2,∴AC⊥AB.……………4分又?AC2+AE2=CE2,∴AC⊥AE,AB?AE=A,AC⊥平面EAB,又?AC?:..∴平面EAB⊥平面ABCD.……………6分(2)取AB中点G,连接EG,?EA=EB,∴EG⊥AB,3由(1)易知EG⊥平面ABCD,且EG=.2如图,以A为原点,分别以射线AB,AC所在直线为x,y轴,竖直向上为z轴,建立空间直角坐标系A?xyz,……………8分?13??33?()()()()则E?,0,?,F?0,,?,C0,3,0,D?1,3,0,B?2,23,0,C?1,23,3,?22??22?11?????????????33??????13?CD=(?1,0,0)=,FC?0,,??,EC=??,3,??,……………10分?22??22???????????????n?CD=0设平面FCD的法向量为n=(x,y,z),则????,??????n?FC=0??x=0??()得?33,令y=1,得n=0,1,1,……………12分?y?z=0?22??????????m?CD=0m=(x,y,z)设平面ECD的法向量为,则??????,111m?EC=0??????x=0?1?得,令y=1,得m=(0,1,2),……………14分?13?x+3y?z=01??21121????m?n3310cos=m,n=??=,m?n2×510310所以平面ECD与平面FCD夹角的余弦值.……………17分1018.(17分)已知抛物线C:y2=2px(0<p<5)上一点M的纵坐标为3,点M到焦点距离为5.(1)求抛物线C的方程;(2)(1,llll过点作直线交于A,B两点,过点A,B分别作的切线与,与相交于点D,过点A作121215:..直线l垂直于l,过点B作直线l垂直于l,l与l相交于点E,l、l、l、l分别与x轴交于点P、Q、3142341234R、?DPQ、?DAB、?ABE、△ERS的面积分别为S、S、S、=4SS,求直线AB的12341234方程.?9=2pt?9p解析(1)设M(t,3),由题意可得?p,即+=5,t+=52p2??2解得p=1或p=9(舍去),所以抛物线C的方程为y2=2x.……………4分(2)如图,设经过A(x,y),B(x,y)两点的直线方程为l:=xmy+1(m∈R),……………5分1122AB与抛物线方程y2=2x联立可得=y22my+2,即y2?2my?2=0,=?4m2+8>0,∴y+y=2m,yy=?2.……………6分121211∵y2=2x,则y=±2x,∴y'=±=,2xy11yly=(x?x)+y=x+1∴过点A作C的切线方程为,1y11y211y2?y2?令y=0,得x=?1,即P??1,0?.……………7分2?2?1y同理,过点B作C的切线l方程为=yx+2,2y22y2?y2?令y=0,得x=?2,即Q??2,0?.……………8分2?2?y2y2∴PQ=2??1y?yy=yx+1x=12=?1???y2?2联立两直线方程1,解得,即D(?1,m),……………9分??1yy+y=?yx+2=?y=12m?y2????2?216:..?1?m?m?1m2+2则D到直线l的距离=d=.……………10分ABD?ABm2+1m2+1又∵过点A作直线l垂直于l,31y3直线l的方程为y=?yx+xy+y=?yx+1+y,31111121y2?y2?令y=0,得=x1+1,即R?1+1,0?.2?2?y3同理,直线l的方程为y=?yx+2+y,4222y2?y2?y2y2令y=0,得=x2+1,即S?2+1,0?.∴=RS2??2?22?y3?y2+y2+yy?y=?yx+1+=y?x1212+1?121?2联立两直线方程?,解得?,y3yy(y+y)??1212y=?yx+2+yy=?????222????2=?x2m2+2(2)整理后可得?,即E2m+2,2m,……………12分?y=2m2m2+2?m?2m?11则E到直线=l的距离d=.……………14分ABE?ABm2+1m2+111y2y2由上可得S=PQ?y=2?1m,12D2221m2+2S=AB?d=AB,22d?AB22m+111S=AB?d=AB,32E?AB22m+111y2y2S=RS?y=2?12m,42E2221y2y2m2+22?1m?ABSS2222m2+1m2+2∴12==4,得m=±6,……………16分SS11y2y2234AB?2?12m2m2+1222∴直线AB的方程为x=±6y+1即x±6y?1=0.………