2024届高三高考模拟综合测试数学试题(一)(含答案解析).pdf

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棱锥A?BBD中观察,1111A到△BEF的距离始终是定值;1选项D,设AC?BD?O,取BD的中点M,运用平面几何性质:1111AM?AO2?OM2?DD?BB,所以S?EF?AM?EF?BB?S,△AEF221△BEF【详解】对于A选项,连接AC、BD,因为四边形ABCD为正方形,则AC?BD,?BB?平面ABCD,AC?平面ABCD,?AC?BB,11?BD?BB?B,BD,BB?平面BBDD,所以AC?平面BBDD,111111因为BE?平面BBDD,因此AC?BE,A选项正确;11对于B选项,因为平面ABCD//平面ABCD,EF?平面ABCD,11111111所以EF//平面ABCD,B选项正确;对于C选项,因为AA//BB,AA?平面BBDD,BB?平面BBDD,1111111所以AA//平面AABB,故AA//平面BEF,△BEF的面积为S?EF?BB?,△BEF214点A到平面BEF的距离为定值,故三棱锥A?BEF的体积为定值,C选项正确;答案第6页,共17页:..对于D选项,设AC?BD?O,取BD的中点M,连接OM、AM,11由A选项可知,AC?平面BBDD,即AO?平面BBDD,1111QBD?平面BBDD,则AO?BD,因为BB//DD且BB?DD,1111111111故四边形BBDD为平行四边形,则BD//BD且BD?BD,111111因为M、O分别为BD、BD的中点,11故DO//DM且DO?DM,所以四边形DDMO为平行四边形,111QDD?平面ABCD,DO?平面ABCD,1所以DD?DO,故四边形DDMO为矩形,所以OM?BD,?AO?OM?O,AO,OM?平1111面AOM,所以BD?平面AOM,11?AM?平面AOM,?AM?BD,?AM?AO2?OM2?DD?BB,111111所以S?EF?AM?EF?BB?S,D选项错误.△AEF221△BEF故选:?4【分析】分析可知命题“,ax2?x?1?0”为真命题,对实数a的取值进行分类讨论,?x?R在a?0时,直接验证即可;当a?0时,根据二次不等式恒成立可得出关于实数a的不等式组,综合可得出实数a的取值范围.【详解】由题意可知,命题“?x?R,ax2?x?1?0”?0时,由x?1?0可得x??1,不合乎题意;?a?01当a?0时,由题意可得?,解得a?.Δ?1?4a?04?1因此,实数a的取值范围是a?.4答案第7页,共17页:..1故答案为:a?.?x?y?3中含y2的项C2x(?y)2,再在?2?x?5中找出含x3的项,相乘即可得到【分析】先找出3含x4y2的系数.?x?y?3中含y2的项为C2x(?y)2,?2?x?5中含x3的项为C322x3,【详解】35?2?x?5?x?y?3的展开式中含x4y2的项为C2x(?y)2C322x3?120x4y2,:?/?2???【分析】先计算向量a?2b与向量a的数量积,再代入投影向量公式中,即可得答案.??π??【详解】∵ab夹角为,a?4,b?2,3??????π1∴(a?2b)?a?|a|2?2|a||b|cos?42?2?4?2??24,32????????(a2b)aa24a3???∴所以向量a?2b在向量a方向上的投影向量为??????a.|a||a|4423?故答案为:./233D?a,b?a【分析】根据题意假设AP的中点,先利用代入法求得的取值范围,再利用点斜式29?8a求得直线l的方程,从而利用点线距离公式求得d?,进而利用换元法与基本不231?12a等式求得点B到直线l距离的最小值.【详解】依题意,设的中点D?a,b?,则P?2a?3,2b?,?2a?3?2?4b2?4,AP515所以a2?b2?3a?,?2?2a?3?2,则?a?,422ba?3因为A?3,0?,所以k?,故k??,ADa?3lba?3yb?xa??a?3?x?by??a2?b2??3a?0所以线段AP的垂直平分线l为????,即,则b5?a?3?x?by??0,4答案第8页,共17页:..5?2?a?3????429?8a所以点B?2,0到直线l的距离为d,???a3?2b2231?12a??31?t2令t?31?12a,则1?t?5,a?,1231?t229?8?所以1225t25t52,d????2??2t6t36t3325t52当且仅当?,即t?时,等号成立,6t325252所以d?,:.(1)6(2)选②或③,7【分析】(1)利用正弦定理:边转角,再利用正弦的二倍角公式,即可求出结果;27(2)条件①,由sinC?,角C可以是锐角或钝角,不满足题设中的条件,故不选①;7条件②,利用条件建立,边b与c的方程组,求出b与c,再利用余弦定理,即可求出结果;条件③,利用正弦定理,先把角转边,再结合条件建立,边b与c的方程组,求出b与c,再利用余弦定理,即可求出结果;【详解】(1)因为bsin2A?3asinB,由正弦定理得,sinBsin2A?3sinAsinB,又B??0,π?,所以sinB?0,得到,sin2A?3sinA又sin2A?2sinAcosA,所以2sinAcosA?3sinA,3A??0,π?sinA?0cosA?,又,所以,得到2答案第9页,共17页:..π所以A?.627(2)选条件①:sinC?727πcsinC47A?7c?a由(1)知,,根据正弦定理知,????1,即,6asinA172所以角C有锐角或钝角两种情况,?ABC存在,但不唯一,②:?c411π1因为S?bcsinA?bcsin?bc?33,所以bc?123,?ABC2264b333333又?,得到b?c,代入bc?123,得到c2?123,解得c?4,所以b?33,c4443由余弦定理得,a2?b2?c2?osA?(33)2?42?2?33?4??27?16?36?7,2所以a?③:cosC?711π1因为S?bcsinA?bcsin?bc?33,所以bc?123,?ABC2264212127由cosC?,得到sinC?1?cos2C?1??,7497π又sinB?sin(π?A?C)?sin(A?C)?sinAcosC?cosAsinC,由(1)知A?,6121273321所以sinB?????277214321bsinB143333又由正弦定理得,???,得到b?c,csinC2744733代入bc?123,得到c2?123,解得c?4,所以b?33,43由余弦定理得,a2?b2?c2?osA?(33)2?42?2?33?4??27?16?36?7,2所以a?7.?n?12?32?1,n为奇数?18.(1)c?2?3n?1?1,a??nnn?233,n??2?为偶数答案第10页,共17页:..?n?4?32?2n?4,n为偶数(2)S??nn?1?232n3,n??2??为奇数【分析】(1)由题意先求出a,再根据c?a,得c?a,c?a,从而可得c?3c?2,1n2n?111n?12n?1n?1n?c??a?再利用构造法求出的通项,从而可得的通项公式;nn()分n为偶数和奇数两种情况讨论,再结合分组求和法即可得解2.?3a,n为奇数【详解】(1)a?n,得a?3a,a?a?2?3a?2,n1??a?2,n为偶数21321?n因为a?a?2a,即a?3a?2?6a,解得a?1,1321111由c?a,得c?a?1,c?a,n2n?111n?12n?1又a?3a,a?a?2,k?N*,2k2k?12k?12k故a?3a?2,所以c?3c?2,即c?3c?2,2k?12k?1k?1kn?1n所以c?1?3?c?1?,n?1n又c?1?2,所以数列?c?1?是以2为首项,3为公比的等比数列,1n所以c?1?2?3n?1,所以c?2?3n?1?1,nn则a?2?3n?1?1,故a?3a?2?3n?3,2n?12n2n?1?n?1?2?32?1,n为奇数所以a??;nn?233,n??2?为偶数n(2)当为偶数时,S??a?a???a???a?a???a?n13n?124n???4?a?a???a??4c?c???c13n1?12n???2?答案第11页,共17页:..??n???21?32???nn4????432n4?????2??,?1?32???????????n当为奇数时,n?1?n?1?n?1S?S?a?4?32?2?n?1??4?2?32?3?2?32?2n?3,nn1n1???????n?4?32?2n?4,n为偶数综上所述,S??.nn?1?232n3,n??2??为奇数19.(1)证明见解析;470(2).35【分析】(1)由PD?平面AEF即可证明PD∥EF;(2)设BC的中点为G,??PCA?45?,再利用向量法求解.【详解】(1)由题得PD?平面AEF,EF?平面PCD?平面AEF,PD?平面PCD,所以PD∥EF.(2)设BC的中点为G,??平面ABCD,所以PC与平面ABCD所成的角为?PCA?45?,由题得?ABC是等边三角形,所以AC?2,?PA?∥EF,CE?ED,?CF?(0,0,2),C(3,1,0),D(0,2,0),????????所以PC?(3,1,?2),PD?(0,2,?2),??设平面EFD的法向量为m?(x,y,z),111??????m·PC?3x?y?2?0?3?11所以????,?m?(,1,1).??m·PD2y2z03???????113331由题得A(0,0,0),E(,,0),F(,,1),2222答案第12页,共17页:..????33????31所以AE?(,,0),AF?(,,1).2222?设平面EFA的法向量为n?(x,y,z),222??????33?n·AE?x?y?0?2222?所以?,?n?(?3,1,1).?????31?n·AFxyz0????????22222???m?n1105?,?cos???????设二面角A?EF?D的平面角为|m||n|735.?53470所以sin??.35470所以二面角A?EF?.(1)?y??;105(2)分布列见解析,【分析】(1)根据已知数据和参考公式,即可出y与投入额x的经验回归方程;(2)求出X的所有可能取值和对应的概率,即可求出X的分布列,?3?4?5?6?8?9?【详解】(1)x??6,y??y??,88i8i?1n?xy??8?6??????,n2356?8?36?x2?nxii?1又因为$$,所以a????6?,a?y?bx答案第13页,共17页:..?y??(2)8个投入额中,“优秀投资额”的个数为5个,故X的所有可能取值为0,1,2,3,C31C2C115C1C230C310P?X?0??3?P?X?1??35?P?X?2??35?P?X?3??5?;;;C356C356C356C3568888则X的分布列为X0123115155P56562828115155105EX?0??1?+2?+3?=.5656282856x221.(1)?y2?126(2)是定值,定值为2【分析】(1)根据题意列式求解a,b,c,即可得结果;?4km2m?(2)根据题意结合韦达定理求点C?,,代入椭圆方程可得4m2?1?2k2,结?12k212k2?????合弦长公式求面积即可,【详解】(1)设椭圆E的焦距为2c,则c?1,e??,aa?1?1a2?a2?2?1由题意可得???,解得?,a2b2b21????a2?b2?1?x2故E的标准方程为?y2?(2)平行四边形OABC的面积为定值,理由如下:2由(1)可得:a?2,b?1,则有:当直线l的斜率不存在时,设A?x,y?,C?x,?y?,1111B?2,0?若OABC为平行四边形,则点B为长轴顶点,不妨设,答案第14页,共17页:..?2?2x?x???1?12?2可得?,解得?,x23?y21?y1???????21?12?136故平行四边形OABC的面积S?2??2??;222当直线l的斜率存在时,设l:y?kx?m?m?0?,A?x,y?,B?x,y?,1122?y?kx?m???联立方程x2,消去y得1?2k2x2?4kmx?2m2?2?0,??y2?1??24km2m2?2则16k2m24?12k2??2m22?8?2k2m21?0