2024学年高二上学期期末教学质量检测试题 数学含解析.pdf

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y?4)2?1的圆心坐标C(3,?4),半径R?1圆22∴?(?4?0)2?(3?0)2?512?P在圆CQC上又上,在圆12?R?r?3,?R?r?、B正确;?4?04两圆圆心所在的直线斜率为k???,C正确;CC3?0312?(?4?0)2?(3?0)2?5大于两圆半径和,两圆外离,无相交弦,:ABC:..?????????????????ABCD的棱长为1,点P满足AP??AB??AD??AA????R,,,(P,11111B,D,A四点不重合),则下列说法正确的是().??????1时,??1,???ABD时,PB∥????1,??ABD时,平面PBD????1,γ?0PA与平面ABCD所成角的正切值的最大值为时,直线111112【答案】BCD【解析】ABD内,利用等体积法求点A到平面ABD的距离;【分析】对于A:根据空间向量分析可知点P在平面11对于B:根据空间向量分析可知点P在直线BC上,根据线面平行的判定定理分析判断;对于C:根据空间1的中点,结合线面垂直关系分析证明;对于D:根据空间向量分析可知点P在1平面ABCD内,根据线面夹角的定义结合基本不等式分析判断.??????1??1??????【详解】对于选项A:当时,即,????????????????????????????AP??AB??AD??AA??AB??AD??1???????AA则??,11????????????????????????????uuuruuuruuurAP?AA??AB?AA??AD?AAAPABAD,可得,则????111111ABD内,可知点P在平面1ABD的距离为d,可知AB?AD?BD?2,设点A到平面111113113V?V?d??2?2???1??1?1d?由可得,解得,A?A1BDA1?ABD322323:..3所以PA的最小值是d?,故A错误;3??1???对于选项B:当,时,uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur则AP??AB??AD??AA?AB??AD??AA,11????????????????uuruuur???可得AP?AB?AD?AA,则BP??AD,11CD,且AB?CD,由正方体的性质可知:AB∥1111ABCD为平行四边形,可得AD∥BCAD?BC,则,且111111??????????uuruuur即AD?BC,则BP??BC,111可知点P在直线BC上,直线PB即为直线BC,11AD∥BCAD?平面ABD,BC?平面ABD,且,11111111所以BC∥平面ABD,即PB∥平面ABD,故B正确;111111对于选项C:当????1,??时,2uuuruuuruuuruuuruuuruuur1uuuruuur1uuur则AP??AB??AD??AA?AB?AD?AA?,12121uuuruuur1uuuruuuruuuruuur取CC的中点M,可得AP??AC?CM?AM,121可知点P即为点M,AA?平面ABCD,BD?平面ABCD,则AA?BD,因为11:..设AC?BD?O,连接OP,可知AC?BD,AA?AC?A,AA,AC?,1111BD?,且AC?,可得BD?AC,所以平面111111AB?AC,且BD?AB?B,BD,AB?平面ABD,同理可得:11111AC?平面ABD,所以11O,的中点,则OP∥AC,可得OP?平面ABD,又因为分别为111OP?ABD,所以平面ABD?平面ABD,故C正确;且平面111对于选项D:当???1,γ?0时,uuuruuuruuuruuuruuuruuur则AP??AB??AD??AA??AB??AD,1可知点P在平面ABCD内,ABCDABCD,因为平面∥平面1111PA与平面ABCD所成角即为直线PA与平面ABCD所成的角,则直线111111AA?平面ABCD,则直线PA与平面ABCD所成的角为?APA,因为111AA1tan?APA?1?可得,1APAP1uuuruuur1uuur又因为???1,即??,则AP??AB?AD,??uuuruuur1uuuruuuruuur11222可得AP??2AB?AD?2AB?AD??2??2?2??2,?2?2?21当且仅当?2?,即???1时,等号成立,?2????112可知AP的最小值为2,则tan?APA?的最大值?,1AP22:..2PA与平面ABCD所成角的正切值的最大值为所以直线,故D正确;111112故选:BCD.【点睛】关键点睛:根据空间向量的线性运算,结合向量共线或共面的判定定理确定点P的位置,、填空题:本题共4小题,每小题5分,,【答案】##【解析】【分析】根据给定条件,利用列举法结合古典概率公式计算即得.【详解】从2至6的5个整数中随机取2个不同数的试验的样本空间为:??{(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)}(交换数字位置算一种情况),共10个样本点,所取2个数互质的事件A?{(2,3),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),(5,6)},共6个样本点,63所以这2个数互质的概率为P(A)??.1053故答案为:5?l:x?y?2,l:2x?y?1v??3,2?,且直线的一个方向向量的直线方程为12__________.【答案】2x?3y?1?0【解析】【分析】求出交点坐标,根据直线的方向向量得到直线方程.?x?y?2?x?1?1,1?【详解】?,解得?,故交点坐标为,2x?y?1y?1???2v??3,2?y?1??x?1?,因为直线的一个方向向量,所以直线方程为3即2x?3y?1?:2x?3y?1?,PA?平面ABCD,若已知AB?3,AD?4,PA?1,则点P到:..【答案】##【解析】【分析】方法一:过A作AE?BD,交BD于E,连结PE,则可得PE是点P到BD的距离,然后求解即可,方法二:建立空间直角坐标系,利用空间向量求解即可【详解】方法一?矩形ABCD中,AB?3,AD?4,?BD?9?16?5,过A作AE?BD,交BD于E,连结PE,?PA?平面ABCD,BD?平面ABCD,?PA?BD,又AE?BD,PA?AE?A,?BD?平面PAE,∵PE?平面PAE,?PE?BD,即PE是点P到BD的距离,11AB?AD12??AB?AD??BD?AE,?AE??,22BD514413?PE?PA2?E2?1??,25513?∵PA?平面ABCD,AB,AD?平面ABCD,∴PA?AB,PA?AD,∵AB?AD∴PA、AB、AD三线两两垂直,x,y,z∴以A为原点,AB,AD,AP所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系,如图所示,:..?P?0,0,,1?B?3,0,0?,D?0,4,0?,?????????BP???3,0,1?BD???3,4,0?,,????????????????BPBD99?cosBP,BD????????????,BPBD9?16?9?1510????????????9213???点P到BD的距离为d?BP1?cos2BP,BD?101????5105??13故答案为:,F分别为椭圆??1F为圆心且过椭圆左顶点的圆与直线的左、右焦点,以129b22x?3y?8?,I为△PFF的内心,且S??S?S?,?IPF1?IF1F2?IPF23【答案】##【解析】【分析】根据题意利用点到直线的距离公式求出椭圆焦点坐标,再利用三角形内接圆与三角形面积的关系列式,??c,0?F?c,0?,F为圆心且过椭圆左顶点的圆的半径为R?a?c?3?c,根据题意可【详解】设,122c?8R?c?2知,解得1?3△PFF的内接圆半径为r,则设12111S?PF?rS?FF?rS?PF?r,,△IPF121?IFF212△IPF222121?13PF?r?FF?r?PF?rPF?PF??FF,即2a???2c,解得??故,化简可得2121222121223故答案为:2四、解答题:本题共6小题,,证明过程或演算步骤.:..???????????????????,在三棱柱ABC-ABC中,M,N分别是AB,BC上的点,且AM?2MB,BN????????????????AB?a,AC?b,AA?????????(1)试用a,b,c表示向量MN;(2)若?BAC?90?,?BAA??CAA?60?,AB?AC?AA?1,?????1?2?2?【答案】(1)MN??a?b?c33311(2)3【解析】?????【分析】(1)利用向量加减法及向量数乘的几何意义,基底法表示MN;(2)利用向量的数量积运算求解向量的模.【小问1详解】????????????????????MN?MA?11112????????1?????BA?AC?CB3132????2????????1??????????AB?AA?AC??AB?AC?33131????2????2??????AB?AA?AC,3313???????????????又ABa,AC?b,AA?c,=1?????1?2?2?∴MN=?a?b?【小问2详解】???AB?AC?AA?1,a?b?c?????BAC?90?,?a?b?0??BAA??CAA?60?,.11????1?a?c?b?c?,2:..?????1???1?????????112??2???MN??a?2b?2c=a2?4b2?4c2?4a?b?4a?c?8b?c?,999?????11?MN?.?y?2?0上,与直线x?3y?2?0相切于点(?1,3).(1)求圆C的标准方程;42?2,?MNC(2)过点的直线与圆相交于M,两点,若的面积为,【答案】(1)(x?2)2?y2?4;(2)x?11y?2?0或x?5y?2?0.【解析】【分析】(1)根据给定条件,求出经过切点的半径所在直线方程,再求出圆心坐标即可得解.(2)根据给定条件,利用点到直线的距离公式及弦长公式,列式计算即得.【小问1详解】依题意,过点(?1,3)且垂直于直线x?3y?2?0的直线方程为y?3?3(x?1),?x?y?2?0x??2??则圆C的圆心C在直线y?3x?23上,由?,解得?,y?3x?23y?0?????即点C(?2,0),因此圆C的半径r?(?2?1)2?(3)2?2,所以圆C的标准方程为(x?2)2?y2?4.【小问2详解】显然直线MN的斜率存在,设直线MN的方程为y?k(x?2),即kx?y?2k?0,4|k|k2d1?3CMN?|MN|2r2d24则点到直线的距离,???,1?k21?k218|k|1?3k242115于是?MNC的面积S?|MN|?d??,解得k??或k??,?MNC21?k23115115所以直线MN的方程为y??(x?2)或y??(x?2),即x?11y?2?0或x?5y