2024-2025届(全国乙卷)理科数学模拟试卷四(学生版+解析版).pdf

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若a?b?c是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是()//b//c,则a?b??b?c过同一点,则a?b??c,b?c,则a////b,a?c,则b?c【答案】D【分析】ABC三项举出反例即可说明,D选项结合线线关系即可判定.【详解】A设a,b确定的平面为?,当c//?时,a?b?c不共面,故A错误;B不妨设a?b?c为三棱锥的三条侧棱所在直线,显然a?b?c共点,但是a?b?c不共面,故B错误;C若a,b为平面?内的两条直线,且c??,显然满足a?c,b?c,但是a,b不一定平行,故C错误;D若a//b,a?c,则b?c,故D正确;故选:.(本题5分)一条铁路有n个车站,为适应客运需要,新增了m个车站,且知m1,客运车票增加了62种,则现在车站的个数为():..【答案】C【分析】31m?131m?1由题意得A2?A2?62,化简计算可得n??,由于m1,n?0,可得?,n?mnm2m2从而可求出1?m?8,经验证可得答案【详解】原来n个车站有A2种车票,新增了m个车站,有A2种车票,nn?m由题意得A2?A2?62,即(m?n)(m?n?1)?n(n?1)?62,n?mn31m?1整理得2mn?m2?m?62,∴n??,m231m?11?249∵m1,n?0,∴?,∴m2?m?62?0,解得1?m?,即1?m??3,4,5,6,7,8时,n均不为整数,只有当m?2时,n?15符合题意,∴m?n?17,:C.????10.(本题5分)已知函数f?x??sin?x????0?,将f?x?的图象向右平移个单???2?3?位得到函数g?x?的图象,点,,C是f?x?与g?x?图象的连续相邻的三个交点,若ABABC是钝角三角形,则?的取值范围是()?3??2??2??3?A.??,???B.??,???C.?0,??D.?0,???3??2??2??3?????????【答案】D【分析】?π?g?x??cos?x?由函数图象的平移可得??,作出函数的图象,结合三角函数的图象与?3?3?性质、平面几何的知识即可得出?1,【详解】?π?由条件可得,g?x??cos?x?,作出两个函数图象,如图:???3?:..A,B,C为连续三交点,(不妨设B在x轴下方),D为AC的中点,.2π由对称性可得ABC是以B为顶角的等腰三角形,AC?T??2CD,??π?3由cos?x?cos??x??,整理得cos?x?3sin?x,得cos?x??,?3?23则y??y?,所以BD?2y?3,CB2Bπ要使ABC为钝角三角形,只需?ACB?即可,4BD3?3由tan?ACB???1,所以0???:D.【点睛】关键点点睛:解决本题的关键是准确把握三角函数的图象与性质,合理转化条件,得到关于?的不等式,.(本题5分)设x,y,z?0,a?4x?,b?4y?,c?4z?,则a,b,c三个数()【答案】D【分析】由题意知利用反证法推出矛盾,即可得正确答案.【详解】111假设三个数4x??4且4y??4且4z??4,相加得:yzx111?4x??4y??4z?12,由基本不等式得:xyz111?4x4;?4y4;?4z4;xyz:..111相加得:?4x??4y??4z12,与假设矛盾;xyz所以假设不成立,111三个数4x?、4y?、4z?.【点睛】本题考查反证法和基本不等式的应用,.(本题5分)如图所示A,B,C是双曲线??1?a?0,b?0?上的三个点,点A,a2b2B关于原点对称,线段AC经过右焦点F,若BF?AC且BF?FC,则该双曲线的离心率为()【答案】D【分析】分别设出A,C坐标利用几何条件将C坐标表达出后代入双曲线方程,整理出离心率表达式,并代入选项验证即可得解【详解】由题意可得在直角三角形ABF中,OF为斜边AB上的中线,所以AB?2OA?2OF?2c?m2?n2?c2?ac2?b2b2设A?m,n?且在第一象限,则满足解得?m2n2m?,n????1cc?a2c2?ac2?b2b2??ac2?b2b2?A?,?,B??,??F?c,0?设C?x,y?所以?cc??cc?????:..b2??0ycyb2因为BF?AC则???1,化简得???1……x?cac2?2?c2?b2??cc??22ac2?b2?b2?BF?FC则?c?????x?c?2?y2将代入后可分别化简得???c?c?????b2?c2c2?ac2?b2?b2?c2c2?ac2?b2x?,y??即C?,???cc?cc???b2?c2c2?ac2?b2?C?,??22?22?3将代入双曲线方程,可化简为c?bb?a?a?cc???c因为在双曲线中b2?c2?a2,e?所以上式为a22?22?222?222?22?22?3c?bb?a?c?c?ac?a?a?2c?ac?2a?a?c2?2a2?2c2?a2????即?1整理为e2?22e2?1?1aa2将选项代入验证,D选项满足等式故选:D评卷人得分二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.(本题5分)已知(x?1)3(x?a)2(a?Z)的展开式中x的系数等于8,则a等于___________.【答案】2【分析】把(x?1)3和(x?a)2(a?Z)展开,根据展开式中x的系数等于8,求出a的值.【详解】解:(x?1)3(x?a)2?(x3?3x2?3x?1)(x2?2ax?a2),4所以展开式中x的系数等于3a2?2a?8,解得a?2或a??,3因为a?Z,所以a?:.(本题5分)正四面体的所有顶点都在同一个表面积是36π的球面上,则该正四面体的棱长是__________.:..【答案】26【分析】将正四面体还原为一个正方体,由正四面体和正方体内接同一球求解.【详解】如图所示:因为正四面体内接于球,则相应的一个正方体内接球,设正方体为ABCD?ABCD,1111则正四面体为A?CBD,11设球的半径为R,则4?R2?36?,解得R?3,所以AC?6则正方体的棱长为23,1所以正四面体的棱长为AD?26,1故答案为:26aa115.(本题5分)已知数列?a?n?1?n?1?2?aa?1,a??a?满足,且,则的通项naan?1123nn?2n公式a?【答案】n?n?1?【分析】?11??11??11?由已知条件可得????????1,从而有???是以2为首项,1为公?aa??aa??aa?n?2n?1n?1nn?1n11??2??n?1??n?1差的等差数列,进而可得,最后利用累加法及等差数列的前aan?1nn项和公式即可求解.【详解】:..aa112?11??11?解:由n?1?n?1?2?a,得???1,则????????1,aan?1aaaaaaan?2nn?2nn?1????n?2n?1n?1n111由a?1,a?得??2,123aa21?11?所以???是以2为首项,1为公差的等差数列,?aa?n?1n11??2??n?1??n?1所以,aan?1n1?11??11??11?1当n?2时,?????????????????a?aa??aa??aa?annn?1n?1n?2211n?n?1??n??n?1????2?1?,22所以a?,nn?n?1?当n?1时,a?1也适合上式,12所以a?,nn?n?1?2故答案为:.n?n?1?16.(本题5分)苏格兰数学家纳皮尔在研究天文的过程中,通过对运算体系的研究,最终找到了简化大数运算的有效工具,发明了对数,,并出版了常用对数表,以下是部分数据(保留到小数点后三位),瑞士数学家欧拉则在1770年指出了“对数源于指数”,根据下表中的参考数据和指对数之间关系,判断下面的结论,其中正确的序号是_______.?106,107?①410在区间内;②250是15位数;③若3?20?k?10m(1?k?10,m?Z),则m??9;100???④若mm?N是一个70位正整数,则m?:真数x235711131719lgx(近似值):..【答案】①④【分析】利用对数的运算性质求出lgN,由此分析求解即可.【详解】??1010?67?解:410?22?220,则lg410?lg220?20lg2?20??,所以4?10,10,故①正确;50?1516?因为lg250?50lg2?50??,所以2?10,10,即250是16位数,故②错误;因为lg3?20??20lg3??20???,即3?20?10???10?10,所以3?20?k?10m(1?k?10,m?Z),则m??10,则③错误;100???因为lgm100?100lgm,因为mm?N是一个70位正整数,所以69?100lgm?70,?lgm?,所以m?5,故④正确故答案为:①④评卷人得分三、解答题(,证明过程或演算步骤,第17~21题为必考题,、23题为选考题,考生根据要求作答.)(一)必考题:共60分17.(本题12分)已知△ABC中,asinA=bsinB.(1)证明:a=b;(2)若c=1,acosA=sinC,求△ABC的面积.【答案】(1)证明见详解11313(2)?或?2424【分析】(1)利用正弦定理即可得证;(2)利用正弦定理求出?C,利用余弦定理求出a2,利用三角形的面积公式可得解.(1)ab证明:在三角形△ABC中,根据正弦定理?sinAsinB又asinA?bsinB:..?a2?b2,即a?b,得证(2)解:由上式可知a?b,?A??Bac根据正弦定理?sinAsinC又c?1sinA?sinC?sin(??2A)?sin2A?asinA1?2sinAcosA?,即?cosA?a2aacosA?sinC1?sinC?2?5?故?C?或?C?66根据余弦定理有a2?b2?2abcosC?2a2?2a2cosC?c2?133cosC?或cosC??22代入上面式子可得a2?2?3或a2?2?3?111113所以当?C?时,S?absinC?a2sinC??(2?3)???6ABC2222245?111113当?C?时,S?absinC?a2sinC??(2?3)???6ABC22222418.(本题12分)正态分布有极其广泛的实际背景,,同一种生物体的身长、“绿水青山就是金山银山”的观念不断的深入人心,环保工作快速推进,,在水库中随机捕捞了100条鱼x??2?,鱼的重量(单位:kg)近似服从正态分布xN2,,如图所示,已知P(x?)?,P(x?)?.(1)若从水库中随机捕捞一条鱼,求鱼的重量在?,?内的概率;:..(2)从捕捞的100条中随机挑出6条鱼测量体重,?,??,??,?重量范围(单位:)条数132①为了进一步了解鱼的生理指标情况,从6条鱼中随机选出3条,记随机选出的3条鱼?,?中体重在内的条数为X,求随机变量X的分布列和数学期望;②若将选剩下的94条鱼称重微标记后立即放生,两周后又随机捕捞1000条鱼,发现其2?,?,促进种群的优化,预备捕捞体重在内的鱼的总数的40%进行出售,试估算水库中鱼的条数以及应捕捞体重在?,?内的鱼的条数.【答案】(1);(2)①分布列见详解;1;②47000;4136.【分析】(1)根据正态分布曲线的对称性有P(?x?)?P(?x?)?P(x?)?P(x?),计算后即可得出答案;(2)①随机变量X的所有可能取值为0,1,2,根据超几何分布的概率求法求