2023-2024学年江苏省宿迁市沭阳县高考冲刺模拟数学试题含解析2376.pdf

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n}为等差数列,且公差为1,首项为1,2na?1则n?1?(n?1)?1?n,即a?n?2n?{b}的公差为d,则b?b?2b?2n?4?b?b?2n?4?d,nnn?1n?1n?1n?1所以b?2n?4?d(n?2,3,),则b?2(n?1)?4?d(n?N?),n?1n所以d?b?b?[2(n?1)?4?d]?(2n?4?d)?2,因此b?2(n?1)?4?2?2n,nn?1n综上,a?n?2n?1,b?(2)设数列{n?2n}的前n项和为M,则M?1?2?2?22?3?23?4?24??n?2n,nn2M?1?22?2?23?3?24?4?25??n?2n?1,n两式相减得?M?1?2?1?22?1?23?1?24??1?2n?n?2n?1?(1?n)?2n?1?2,nM?(n?1)?2n?1?2,所以S?(n?1)?2n?1?2?n,nn4lg2c?,4lg2211设nn?1?S则c???2(?),blgn?1n2(n?1)lg2n?2(n?1)(n?2)n?1n?2n?1n111111112所以T?2?(??????)?2?(?)?1???1n?22n?2n?22?18、(1)[?3,??)(2)e2?【解析】??????f'?x?f?(x)?00,asinx?cosx?00,(1)求得,根据已知条件得到在??恒成立,由此得到在??恒成立,利用?6??6?(x)?f(x)?bxg?x??0bb(2)构造函数设,利用求二阶导数的方法,结合恒成立,求得的取值范围,由此求得的最小值.【详解】(1)f?(x)?aeaxsinx?eaxcosx?eax(asinx?cosx):..??????因为f(x)在0,上单调递增,所以f?(x)?0在0,恒成立,?????6??6????即asinx?cosx?0在0,恒成立,???6?当x?0时,上式成立,a?R???cosx1?1?当x?0,,有a????,需a????,???6?sinxtanx?tanx?max?311而0?x?,0?tanx?,?3,???3,故a??363tanxtanx综上,实数a的取值范围是[?3,??)???(2)设g(x)?f(x)?bx?exsinx?bx,x?0,,则g?(x)?ex(sinx?cosx)?b,???2?令h(x)?ex(sinx?cosx)?b,??????h?(x)?ex(2cosx)?0,h(x)在0,单调递增,也就是g?(x)在0,单调递增,?????2??2????所以g?(x)?1?b,e2?b.????当1?b?0即b?1时,g(x)?g(0)?0,不符合;??g(x)?g(0)?0当即时,,符合e2?b?0b?e2??????x?0,g??x??0x??0,x?g?(x)?0当1?b?0?e?b即1?b?e时,根据零点存在定理,??,使,有时,,220200???????????g(x)?0,x?x?x,g?(x)?0g(x)x,g(0)?0g?0在单调递减,??时,,在??单调递增,成立,故只需??0?02??02??2???2??即可,有e2?b?0,得e2?b?e2,符合2?2?2?综上得,b?e2,实数b的最小值为e2??【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性,考查利用导数研究不等式恒成立问题,考查化归与转化的数学思想方法,考查分类讨论的数学思想方法,属于难题.:..17?0,1??a?19、(1)(2)22【解析】f?x?f(x)?x?2(1)将表示为分段函数的形式,?x?f?x?f?x?(2)利用绝对值三角不等式,求得的取值范围,根据分段函数解析式,求得的取值范围,结合题3意列不等式?|a?2|,【详解】???3x,x??1??1(1)f(x)???x?2,?1?x?,2??13x,x???2?1?1?x??1??1?x??x?由f(x)?x?2得?或?2或?2;??3x?x?2??x?2?x?2?3x?x?2???0,1?解得0?x?.(2)g(x)?|x?2019|?|x?2021?a|?|(x?2019)?(x?2021?a)|?|a?2|,?即g(x)??a?2,??.????3x,x??1??1由(1)知f(x)???x?2,?1?x?,2??13x,x???2?1?3?3?所以f(x)?f???,即f(x)?,???.min??2?2?2?317∴?|a?2|,∴?a?.222【点睛】:..本小题考查了绝对值不等式,绝对值三角不等式|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|和函数最值问题,考查运算求解能力,推理论证能力,化归与转化思想.?1??1?11y?F?x?0,,??20、(1)故函数在??上单调递增,在??上单调递减;(2).?a??a?4【解析】试题分析:F?x?(Ⅰ)根据题意得到的解析式和定义域,求导后根据导函数的符号判断单调性.(Ⅱ)分析题意可得f?x??tg?x??f?x??tg?x??2?a??11?x?x?2对任意,恒成立,构造函数22111211????h?x??f?x??tg?x??lnx?ax2??1?2t?x?3th??x???ax??1?2t??0a??2,?1x?1,2,则有对任意,2x恒成立,:113F?x??f?x??ag?x??lnx?ax2??1?a?x?ax??0,???(I)由题意得,,222?ax2??1?a?x?1??ax?1??x?1?1∴F??x???ax?1?a??.xxxa?0F??x??0y?F?x??0,???当时,,函数在上单调递增;11a?0F??x??00?x?F??x??0x?当时,令,解得;令,?1??1?y?F?x?0,,??故函数在??上单调递增,在??上单调递减.?a??a?a?0y?F?x??0,???综上,当时,函数在上单调递增;?1??1?a?0y?F?x?0,,??当时,函数在??上单调递增,在??上单调递减.?a??a?(II)由题意知t??ax2?x?1f??x???ax?1?,xx?2?a??1y?f?x?当时,?x?2y?g?x?不妨设1?,又函数单调递减,12?2?a??11?x?x?2f?x??f?x??t?g?x??g?x??所以原问题等价于:当时,对任意,不等式??恒成立,122112:..f?x??tg?x??f?x??tg?x??2?a??11?x?x?2即对任意,?x??f?x??tg?x??lnx?ax2??1?2t?x?3t记,2h?x??1,2???x???ax??1?2t??0a???2,?1?x??1,2?所以对任意,?a???xa???1?2t?a???2,?1?令,,x1H?a??H??2??2x??1?2t?0x??0,????1?故2t?1??2x??,?x?max1y?2x??1,2?而在上单调递增,x19?1,2?所以函数y?2x??1?,解得t?.?49?9749?97?21、(1)??1;(2)?,?.434848??【解析】1ba,ca2?b2?c2()由已知短轴长求出,离心率求出关系,结合,即可求解;(2)当直线l,l的斜率都存在时,不妨设直线l的方程为y?k(x?1),k?1,直线l与椭圆方程联立,利用相交弦长1211k?1|PQ|公式求出|PQ|,l斜率为,求出|MN|,得到关于k的表达式,根据表达式的特点用“?”判别式法求出21?k|MN||PQ||PQ|范围,当l,l有一斜率不存在时,另一条斜率为??,根据弦长公式,求出,即可求出结论.|MN|12|MN|【详解】c2a2?b21(1)由2b?23得b?3,又由e2???得3a2?4b2,a2a24x2y2则a2?4,b2?3,故椭圆C的方程为???1,0?(2)由(1)知,:..①当直线l,l的斜率都存在时,12由对称性不妨设直线l的方程为y?k(x?1),k?1,1?y?k(x?1)?2?222由??4k?3x?8kx?4k?12?0,3x2?4y2?12?0??2???????144k?1?0,设Px,y,Qx,y,11228k24k2?12则x?x?,xx?,,124k2?3124k2?3?2?121?k?2????2?则|PQ|?1?kx?x?4xx?,?1212?3?4k2k?1由椭圆对称性可设直线l的斜率为,21?kk?12??12?12?????241?k2?1?k?则|MN|??,2?2??k?1?71?k?2k3?4????1?k??2??2??2?|PQ|121?k71?k?2k71?k?2k???2?2?2|MN|3?4k241?k6?8k72k?7478k?7.????86?8k2824?32k28k?7令t?,则32tk2?8k?24t?7?0,24?32k277?977?97当t?0时,k??,当t?0时,由???64?4?32t(24t?7)?0得?t?,所以8484849?9778k?749?97???,48824?32k24849?97|PQ|49?97|PQ|8即??,且?.48|MN|48|MN|7②当直线l,l的斜率其中一条不存在时,12根据对称性不妨设设直线l的方程为y?x?1,l斜率不存在,12:..242b2则|PQ|?,|MN|??3,7a|PQ|8?49?9749?97?此时???,?.|MN|74848??若设l的方程为y?x?1,l斜率不存在,21|PQ|7?49?9749?97?则???,?,|MN|84848??|PQ|?49?9749?97?综上可知的取值范围是?,?.|MN|4848??【点睛】本题考查椭圆标准方程、直线与椭圆的位置关系,注意根与系数关系、弦长公式、函数最值、椭圆性质的合理应用,意在考查逻辑推理、计算求解能力,、(1)详见解析;(2)详见解析.【解析】37(1)利用求导数,判断f(x)在区间(1,??)上的单调性,然后再证f(),f()异号,即可证明结论;24x2(lnx?2)(2)当x?1时,不等式g(x)?0恒成立,分离参数只需x?1时,a?恒成立,x?1x2(lnx?2)49设h(x)?(x?1),需a?h(x)?,根据(1)中的结论先求出h(x),再构造函数结合导数法,x?1min4min49证明h(x)?【详解】22(1)f?(x)?1?lnx??3?lnx??4,xx12令f?(x)?m(x),则m?(x)???0,xx2所以m(x)?f?(x)在区间(1,??)上是增函数,则f?(x)?f?(1)?2,所以f(x)在区间(1,??)上是增函数.?3?131又因为f????ln??0,?2?222:..?7?1711?7?f????ln???1?ln??0,?4?4444?4??37?所以f(x)在区间(1,??)上有且仅有一个零点x,且x??,?.00?24?2x?aag(x)?lnx???0?1,???(2)由题意,在区间上恒成立,xx22?1,???即(x?1)a?x(lnx?2)在区间上恒成立,当x?1时,a?R;x2(lnx?2)当x?1时,a?恒成立,x?1x2(lnx?2)设h(x)?(x?1),x?1x[(x?2)lnx?3x?5]x?f(x)所以h?(x)??.(x?1)2(x?1)2?37?由(1)可知,?m??,?,使f(m)?0,?24?所以,当x?(1,m)时,h?(x)?0,当x?(m,??)时,h?(x)?0,由此h(x)在区间(1,m)上单调递减,在区间(m,??)上单调递增,m2(lnm?2)所以h(x)?h(m)?.minm?1又因为f(m)?(m?2)lnm?3m?5?0,5?3mm2所以lnm?,从而h(x)?h(m)?,m?2min2?mm2m2?37?所以a?.令h(m)?,m??,?,2?m2?m?24??m2?4m则h?(m)??0,(2?m)2?37?所以h(m)在区间?,?上是增函数,?24?:..?7?4949所以h(m)?h???,故a?h(m)?.?4?44【点睛】本题考查导数的综合应用,涉及到函数的单调性、函数的零点、极值最值、不等式的证明,分离参数是解题的关键,意在考查逻辑推理、数学计算能力,属于较难题.