高考复习不等式.docx

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1”的代换技巧转化为能利用基本不等式求最值得问题.【解答】解:设x+2=s,y+1=t,则s+t=x+y+3=4,所以==..【点评】本题考查了基本不等式,考查了换元法和数学转化思想,训练了整体代换技巧,解答此题的关键是运用换元后使分式的分母由多项式变为了单项式,.(2011?浙江)设x,y为实数,若4x2+y2+xy=1,则2x+y的最大值是.【分析】设t=2x+y,将已知等式用t表示,整理成关于x的二次方程,二次方程有解,判别式大于等于0,求出t的范围,求出2x+y的最大值.【解答】解:∵4x2+y2+xy=1∴(2x+y)2﹣3xy=1令t=2x+y则y=t﹣2x∴t2﹣3(t﹣2x)x=1即6x2﹣3tx+t2﹣1=0∴△=9t2﹣24(t2﹣1)=﹣15t2+24≥0精品文档精品文档3精品文档解得2x+y的最大值是故答案为【点评】本题考查利用换元转化为二次方程有解、.(2012?江苏)已知函数 f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),若关于 x的不等式 f(x)<c咏蛴败芈魉铽搅窃偬谑賠偉绉驅册。的解集为(m,m+6),则实数 c的值为 9 .【分析】根据函数的值域求出 a与b的关系,然后根据不等式的解集可得 f(x)=c的两个根为 m,m+6,顺剛饮紧篋叢缍锰習领戩縮戋骊铵。最后利用根与系数的关系建立等式,解之即可.【解答】解:∵函数 f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),铫閻產咛紆邮笺吳筧触甌噠颊備國。∴f(x)=x2+ax+b=0只有一个根,即△ =a2﹣4b=0则b=不等式f(x)<c的解集为(m,m+6),即为x2+ax+<c解集为(m,m+6),则x2+ax+﹣c=0的两个根为 m,m+6∴|m+6﹣m|==6解得c=9故答案为:9【点评】本题主要考查了一元二次不等式的应用,以及根与系数的关系,同时考查了分析求解的能力和计算能力,.(2016?徐汇区一模)设 x、y∈R+且=1,则x+y的最小值为 16 .【分析】将x、y∈R+且=1,代入x+y=(x+y)?(),展开后应用基本不等式即可.【解答】解:∵=1,x、y∈R+,∴x+y=(x+y)?()==10+≥10+2=16(当且仅当,x=4,y=12时取“=”).精品文档精品文档4精品文档故答案为:【点评】本题考查基本不等式,着重考查学生整体代入的思想及应用基本不等式的能力,.(2011?浙江)若实数 x,y满足x2+y2+xy=1,则x+y的最大值是 .鹳洁鰭癰镍織妈諦刽淚镞鸳宝謾淶。【分析】利用基本不等式,根据 xy≤把题设等式整理成关于 x+y的不等式,求得其范围,则 x+y的最大值纤滬釧鯛龅紙级绍顛鈹筹攄鹼儐鄰。可得.【解答】解:∵x2+y2+xy=1∴(x+y)2=1+xy∵xy≤∴(x+y)2﹣1≤,整理求得﹣≤ x+y≤x+y的最大值是故答案为:【点评】,.(2014?浙江)当实数 x,y满足时,1≤ax+y≤4恒成立,则实数 a的取值范围是 [] .谥鲵齦氳鱷难维猕訟鱿輦荠抚劲釣。【分析】由约束条件作出可行域,再由 1≤ax+y≤4恒成立,结合可行域内特殊点 A,B,C的坐标满足不鷦贅抛贼漸畴钏营动謨褳应觎锡鳐。等式列不等式组,求解不等式组得实数 a的取值范围.【解答】解:由约束条件作可行域如图,联立,解得 C(1,).联立,解得 B(2,1).在x﹣y﹣1=0中取y=0得A(1,0).要使1≤ax+y≤4恒成立,则,解得:1.∴:令 z=ax+y,精品文档精品文档15精品文档当a>0时,y=﹣ax+z,在B点取得最大值, A点取得最小值,可得,即 1≤a≤;当a<0时,y=﹣ax+z,在C点取得最大值,①a<﹣1时,在B点取得最小值,可得,解得 0≤a≤(不符合条件,舍去)②﹣1<a<0时,在A点取得最小值,可得,解得 1≤a≤(不符合条件,舍去)综上所述即:1≤a≤;故答案为:.【点评】本题考查线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,考查了数学转化思想方法,训练了不等式组得解法,.(2011?新课标)若变量 x,y满足约束条件则 z=x+2y的最小值为 ﹣6 .親氳輟铹侩钕讵阍鄧綸鈦槛荨輜鋟。【分析】在坐标系中画出约束条件的可行域,得到的图形是一个平行四边形,把目标函数 z=x+2y变化为y=﹣x+,当直线沿着 y轴向上移动时, z的值随着增大,当直线过 A点时,z取到最小值,求出两条直线醞婵币观剮宠颏謁谕气络讴钮儀鳞。的交点坐标,代入目标函数得到最小值.【解答】解:在坐标系中画出约束条件的可行域,得到的图形是一个平行四边形,目标函数 z=x+2y,变化为y=﹣x+,当直线沿着 y轴向上移动时, z的值随着增大,当直线过 A点时,z取到最小值,由y=x﹣9与2x+y=3的交点得到 A(4,﹣5)∴z=4+2(﹣5)=﹣6精品文档精品文档8精品文档故答案为:﹣【点评】本题考查线性规划问题,考查根据不等式组画出可行域,在可行域中,找出满足条件的点,把点的坐标代入,.(2016?福建模拟)若不等式 x2﹣ax﹣b<0的解集为{x|2<x<3},则a+b= ﹣1 .鍋劌换瞒帧煥車頏发攢辙暢諉懾癇。【分析】不等式x2﹣ax﹣b<0的解集是{x|2<x<3},故3,2是方程x2﹣ax﹣b=0的两个根,由根与系数礦約澤緱税繽偽锦鹉俠烏谁闻蟶辽。的关系求出 a,b可得.【解答】解:由题意不等式 x2﹣ax﹣b<0的解集是{x|2<x<3},故3,2是方程x2﹣ax﹣b=0的两个根,诙嘗凯薊莅張詿轅缌濺餘維车蘿黷。3+2=a,3×2=﹣ba=5,b=﹣6a+b=5﹣6=﹣1故答案为:﹣1【点评】本题考查一元二次不等式与一元二次方程的关系,解答本题的关键是根据不等式的解集得出不等式相应方程的根,,函数,.(2010?山东)若对任意 x>0,≤a恒成立,则 a的取值范围是 a≥ .靚兩闕謗脓镛蓽缀華锉趸饈劢挞龔。【分析】根据x+≥2代入中求得的最大值为进而 a的范围可得.【解答】解:∵x>0,x+≥2(当且仅当x=1时取等号),=≤=,即的最大值为,故答案为:a≥【点评】.(2015?南昌模拟)若平面区域是一个三角形,则 k的取值范围是 (﹣∞,﹣2)∪(0,] .與张稳鲦鏝邊訪聞討鷹层錛俁額骯。【分析】画出平面区域,直线 y+2=k(x+1)表示过(﹣1,﹣2)的直线,可行域是三角形,直线过( 0,2)煩谢癇饜疊賺骯缡谈攏實孌***隉鄉。精品文档精品文档10精品文档和(﹣2,0),结合图形,求出 【解答】解:直线y+2=k(x+1)表示过(﹣1,﹣2)的直线,根据约束条件画出可行域如图:平面区域是一个三角形,就是图中阴影部分,所以k∈(﹣∞,﹣2)∪(0,]故答案为:(﹣∞,﹣2)∪(0,].【点评】本题考查二元一次不等式(组)与平面区域,考查作图能力,逻辑思维能力,.(2015?福建模拟)若正数 x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是 5 .蒔蜡遜桦绵栀繡陘谂镇導脛識趱诸。【分析】将方程变形,代入可得 3x+4y=(3x+4y)()=×3,然后利用基本不等式即可求解.【解答】解:∵x+3y=5xy,x>0,y>0∴3x+4y=(3x+4y)()=×3=5当且仅当即 x=2y=1时取等号故答案为:5【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值问题,解题的关键是基本不等式的应用条件的配凑12.(2016?雅安模拟)已知 a>0,b>0,且满足 a+b=3,则的最小值为 3 .懨療課闵黄颏财俪証頑锷熾镓綬绛。【分析】把化为+++,利用基本不等式求出它的最小值.【解答】解:∵a>0,b>0,且满足a+b=3,则=+=+=+++≥+2=3,当且仅当=时,,【点评】本题主要考查基本不等式的应用,注意基本不等式的使用条件,并注意检验等号成立的条件,式精品文档精品文档15精品文档子的变形是解题的关键,.(2014?浙江)设函数 f(x)=,若f(f(a))≤2,则实数 a的取值范围是 (﹣∞,] .紧纠嘜碼靈鍆嘵苁膿皚轹晋检祸齋。【分析】画出函数 f(x)的图象,由 f(f(a))≤2,可得f(a)≥﹣2,数形结合求得实数 a的取值范鯇轩禀鷯闪钨雋強顥两搶鵓鳏缕伪。围.【解答】解:∵函数 f(x)=,它的图象如图所示:由f(f(a))≤2,可得f(a)≥﹣<0时,f(a)=a2+a=(a+)2﹣≥﹣2恒成立;当a≥0时,f(a)=﹣a2≥﹣2,即a2≤2,解得0≤a≤,则实数a的取值范围是a≤,故答案为:(﹣∞,].【点评】本题主要考查分段函数的应用,其它不等式的解法,体现了数形结合的数学思想,.(2016?杭州模拟)已知变量 x,y满足,则的取值范围是 [,] .輦闼澱窯夹泺琐轲囅镇嬰縉阶窶濕。【分析】作出可行域,变形目标函数可得 =1+表示可行域内的点与 A(﹣2,﹣1)连线的斜率与 1的和,数颮禮繃跄圣贞鵬種犧軼鬓剐習鍍轆。形结合可得.【解答】解:作出所对应的区域(如图阴影) ,变形目标函数可得 ==1+,表示可行域内的点与 A(﹣2,﹣1)连线的斜率与 1的和,由图象可知当直线经过点 B(2,0)时,目标函数取最小值 1+=;当直线经过点 C(0,2)时,目标函数取最大值 1+=;故答案为:[,]精品文档精品文档14精品文档【点评】本题考查简单线性规划,涉及直线的斜率公式,准确作图是解决问题的关键,.(2015?南京校级四模)已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是 4 .帏严奂巒烧鴯鏢葒與內騾苍奋诈黪。【分析】首先分析题目由已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,求x+2y的最小值,猜想到基本不等式的用法,戔冻灣氩纾驴诜箦辇沒萇报犷縞揚。利用a+b≥2代入已知条件,化简为函数求最值.【解答】解:考察基本不等式 x+2y=8﹣x?(2y)≥8﹣()2(当且仅当 x=2y时取等号)懍驳谤綬屜纭鹗笺罰谒嘤罴鸢罷緯。整理得(x+2y)2+4(x+2y)﹣32≥0即(x+2y﹣4)(x+2y+8)≥0,又x+2y>0,所以x+2y≥4(当且仅当 x=2y时取等号)则x+2y的最小值是 4故答案为:4.【点评】此题主要考查基本不等式的用法,对于不等式 a+b≥2在求最大值最小值的问题中应用非常广泛,.(2015?怀化二模)已知点 P(x,y)满足条件(k为常数),若z=x+3y的最大值为 8,则k= ﹣6 .鎬娄懍輅惲兰顛间鋏贮諳鵑忆灄绺。【分析】画出可行域,将目标函数变形,画出相应的直线,将其平移,数学结合当直线移至点 A时,纵截距最大,z最大.【解答】解:画出可行域将z=x+3y变形为y=,画出直线平移至点 A时,纵截距最大, z最大,联立方程得,代入,∴k=﹣﹣6精品文档精品文档16精品文档【点评】本题考查画不等式组的可行域;