2024学年四川省乐山外国语学校高三数学试题周考试题.pdf

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2?1,得1212?1212,33,?33?a2b2a2b2a2b2?a2b225x2y2即?,联立a2?b2?7,解得a2?2,b2?5,故所求双曲线的方程为??【点睛】本题主要考查利用点差法求双曲线标准方程,考查基本求解能力,、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。【解析】ππ4π324由于cos(??)?cos(??)?sin???,且??(?,0),则cos??1?sin2??,得sin2??2sin?cos???,2252525πππ1则2cos2??2sin(2??)?1?cos2??2(sin2?cos?cos2?sin)?1?sin2??.4442514.(0,?2)y??x【解析】b通过双曲线的标准方程,求解c,,【详解】由双曲线y2?x2?1,可得a?1,b?1,则c?2,所以双曲线的焦点坐标是(0,?2),渐近线方程为:y??x.:..故答案为:(0,?2);y??x.【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质的应用,考查了运算能力,【解析】计算正四面体的高,并计算该正四面体的体积,利用等体积法,可得结果.【详解】作PO?平面ABC,O为?ABC的重心如图3AD?AB?sin?ABD?a?sin60?a223则AO?AD?a,336所以PO?AP2?AO2?a3设正四面体内任意一点到四个面的距离之和为x116则?S?x??S?PO?x?a3?ABC3?ABC36故答案为:a3【点睛】:..本题考查类比推理的应用,还考查等体积法,考验理解能力以及计算能力,?8【解析】依据方差公式列出方程,解出即可.【详解】x?2?1,1,0,?2,x的平均数为,51?x?22x?22x?22x?22x?22???????????所以???1????1????0?????2????x????105??5??5??5??5??5????解得x?7或x??8.【点睛】、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。e217.(1)见解析;(2)a?4【解析】???2??x分析:(1)先构造函数gx?x?1e?1,再求导函数,根据导函数不大于零得函数单调递减,最后根据单调性证f?x?h?x??1?ax2e?xh?x?h'?x??ax?x?2?e?x得不等式;(2)研究零点,等价研究的零点,先求导数:,这里产生h?x??0h?x?a?0h?x?两个讨论点,一个是a与零,一个是x与2,当a?0时,,没有零点;当时,先减后增,从而确定只有一个零点的必要条件,再利用零点存在定理确定条件的充分性,即得a的值.???2??x详解:(1)当a?1时,fx?1等价于x?1e?1?0.??????????2设函数gx?x2?1e?x?1,则g'x??x2?2x?1e?x??x?1e??1g'?x??0g?x??0,???当时,,?0??0x?0g?x??0f?x??1而,故当时,,?x??1?ax2e?x(2)?x??0,???h?x??0,????x??0h?x?(i)当a?0时,,没有零点;a?0h'?x??ax?x?2?e?x(ii)当时,.:..x??0,2?h'?x??0x??2,???h'?x??0当时,;当时,.h?x??0,2??2,???所以在单调递减,??h?x??0,???故h2?1??2??0h?x??0,???①若,即a?,在没有零点;4e2h?2??0a?h?x??0,???②若,即,在只有一个零点;4e2h?2??0h?0??1h?x??0,2?③若,即a?,由于,所以在有一个零点,416a316a316a31h?4a??1??1??1??1??0由(1)知,当x?0时,ex?x2,?2a?2?2a?4aeh?x??2,4a?h?x??0,???故在有一个零点,?x??0,???综上,在只有一个零点时,a?.4点睛:利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题,.(1)分布列见解析;(2)406.【解析】(1)计算k个人的血混合后呈阴性反应的概率为qk,呈阳性反应的概率为1?qk,(2)计算E(X)??qk?1,【详解】qq?1?p(1)设每个人的血呈阴性反应的概率为,,呈阳性反应的概率为1??,1?,所以X的分布列为:kk11X1?kk:..Pqk1?qk(2)方案②?1???1结合(1)知每个人的平均化验次数为:E(X)??qk?1??1?qk??qk?1??k?k?k1k?2时,E(X)???1?,此时1000人需要化验的总次数为690次,21k?3时,E(X)???1?,此时1000人需要化验的总次数为604次,31k?4时,E(X)???1?,此时1000人需要化验的次数总为594次,4即k?2时化验次数最多,k?3时次数居中,k?4时化验次数最少,而采用方案①则需化验1000次,故在这三种分组情况下,相比方案①,当k?4时化验次数最多可以平均减少1000?594?406次.【点睛】本题考查了分布列,数学期望,?2n?1?4,5?19.(1);(2).n【解析】?a?dad(1)设等差数列的公差为,根据题意得出关于和的方程组,解出这两个量的值,然后利用等差数列的通n1?a?项公式可得出数列的通项公式;n??1?n?n?n?2?S??nn(2)求出,可得出??,可知当为奇数时不等式不成立,只考虑为偶数的情况,利用数列单nn2?b??调性的定义判断数列中偶数项构成的数列的单调性,【详解】?a?d(1)设等差数列的公差为,n?a?a?d?5?21?a?d?56?55?44?31则???,整理得?,6a?d?5a?d?2?4a?d??35?3a?13d?35?1111?22?2?a?3d?2a?a??n?1?d?3?2?n?1??2n?1解得,,因此,;1n1n?a?a?n?3?2n?1?(2)S?1n??n2?2n,n22:..??1?n?n?n?2???n??n?1n??满足不等式??2??1S?0的正整数恰有3个,得,n??n2??1?n?n?n?2?n??由于??0,若为奇数,则不等式不可能成立.??n2??1?n?n??n?2?nb?只考虑为偶数的情况,令n??,n22k?2k?2?k?k?1??k?1??k?2?则b??,b?.2k2k2k?22k?22k?1?k?1??k?2?2k?k?1??k?1??2?k??b?b???.2k?22k2k?12k?12k?1当k?1时,b?b?0,则b?b;4224当k?2时,b?b?0,则b?b;6446当k?3时,b?b?0,则b?b?b?.2k?22k6810所以,b?b?b?b?b?,24681015又b?4,b?b?6,b?5,b?,?4?????4,5?因此,实数的取值范围是.【点睛】本题考查数列的通项公式的求法,考查正实数的取值范围的求法,考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,.(1)144(2)(3)详见解析【解析】(1)由题意可计算后三组的频数的总数,由其成等差数列可得后三组频数,,;(2)由题中数据计算k2的值,对照临界值表可得答案;(3)由题意可计算出这8人中不做眼保健操和坚持做眼保健操的分别有2人和6人,可得X可取0,1,2,分别计算出其概率,列出分布列,可得其数学期望.【详解】:..100??3?7?27??63解:(1)由图可知,第一组有3人,第二组7人,第三组27人,因为后三组的频数成等差数列,共有(人)所以后三组频数依次为24,21,18,,??144人100??44?18?32?6?2150(2)k2????,50?50?76?(3)调查的100名学生中不近视的共有24人,从中抽取8人,抽样比为?,这8人中不做眼保健操和坚持做眼243保健操的分别有2人和6人,X可取0,1,2,C0?C21C1C1123C2C015P?X?0??62?,P?X?1??62??,P?X?2??62?,C228C2287C228g88X的分布列X0121315P2872811215E?X??0??1??2??【点睛】本题主要考查频率分布直方图,独立性检测及离散型随机变量的期望与方差等相关知识,考查学生分析数据与处理数据的能力,.(1)见解析,0(2)2187【解析】(1)??S即该选手答完3道题后总得分,可能出现的情况为3道题都答对,答对2道答错1道,答对1道答错2道,3道3题都答错,进而求解即可;(2)当S?2时,即答完8题后,正确的题数为5题,错误的题数是3题,又S?0(i?1,2,3,4),则第一题答对,第二题第三8i题至少有一道答对,进而求解.【详解】:..1解:(1)?的取值可能为?3,?1,1,3,又因为p?q?,2131131????故P(???3)??,P(??3)??,?????2?8?2?811231123????P(???1)?C2???,P(??1)?C2???,????32?2?832?2?8所以?的分布列为:??3?1131331P88881331所以E(?)?(?3)??(?1)???3??08888(2)当S?2时,即答完8题后,正确的题数为5题,错误的题数是3题,8又已知S?0(i?1,2,3,4),第一题答对,i若第二题回答正确,则其余6题可任意答对3题;若第二题回答错误,第三题回答正确,则后5题可任意答对题,152330?88080??????此时的概率为P?C3?C3????(或).????65?3??3?38372187【点睛】本题考查二项分布的分布列及期望,考查数据处理能力,.(1)见解析(2)F(x)的最小值为F(2)??2ln22【解析】(1)由题可得函数f(x)的定义域为(0,??),a?11ax2?(a?1)x?1(x?1)(ax?1)f?(x)?a????(x?0),xx2x2x2当a?0时,ax10,令f?(x)?0,可得x?1;令f?(x)?0,可得0?x?1,所以函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,??)上单调递减;11当0?a?1时,令f?(x)?0,可得1?x?;令f?(x)?0,可得0?x?1或x?,aa11所以函数f(x)在(0,1),(,??)上单调递增,在(1,)上单调递减;aa:..当a?1时,f?(x)?0恒成立,所以函数f(x)在(0,??),当a?0时,函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,??)上单调递减;当0?a?1时,函数f(x)在(0,1),(,??)a1上单调递增,在(1,)上单调递减;当a?1时,函数f(x)在(0,??)(2)方法一:当a?1时,F(x)?f(x)????x?2lnx???,x?[1,2],xx2x3xx2x32x?2设g(x)?x?2lnx,x?[1,2],则g?(x)?1???0,xx1所以函数g(x)在[1,2]上单调递减,所以g(x)?g(2)?2?2ln2,当且仅当x??[1,2]时,设?t,x1312则t?[,1],所以???3t?t2?2t3,2xx2x31119设h(t)?3t?t2?2t3,t?[,1],则h?(t)?3?2t?6t2??6(t?)2?,266115所以函数h?(t)在[,1]上单调递减,且h?()??0,h?(1)??1?0,22211所以存在t?(,1),使得h?(t)?0,所以当?t?t时,h?(t)?0;当t?t?1时,h?(t)?0,0202001所以函数h(t)在(,t)上单调递增,在(t,1)上单调递减,20013133123因为h()?,h(1)