第六讲排列、组合、二项式定理.docx

该【第六讲排列、组合、二项式定理 】是由【泰山小桥流水】上传分享，文档一共【7】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【第六讲排列、组合、二项式定理 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。精品文档精品文档1精品文档一、知识回顾(Ⅰ)排列、组合问题几大解题方法:①直接法; ②排除法;③捆绑法:在特定要求的条件下,将几个相关元素当作一个元素来考虑,待整体排好之后再考虑它们“局部”“元素相邻问题”;④插空法:先把一般元素排列好,然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中,此法主要解决“元素不相邻问题”.⑤占位法:从元素的特殊性上讲,对问题中的特殊元素应优先排列,然后再排其他一般元素;从位置的特殊性上讲,对问题中的特殊位置应优先考虑,“先特殊后一般”的解题原则.⑥调序法:当某些元素次序一定时,:先将n个元素进行全排列有Ann种,m(mn)个元素的全排列有Amm种,由于要求m个元素次序一定,因此只能取其中的某一种排法,可以利用除法起到去调序的作用,即若n个元素排成一列,其中m个元素次序一定,(Ⅱ)排列组合常见解题策略:①特殊元素优先安排策略; ②合理分类与准确分步策略;③排列、组合混合问题先选后排的策略(处理排列组合综合性问题一般是先选元素,后排列) ;④正难则反,等价转化策略; ⑤相邻问题插空处理策略;⑥不相邻问题插空处理策略; ⑦定序问题除法处理策略;⑧分排问题直排处理的策略; ⑨“小集团”排列问题中先整体后局部的策略;⑩构造模型的策略 .9、二项式定理:⑴对于nN,(ab)nCn0anb0Cn1an1bCnranrbrCnna0bn,这个公式所表示的定理叫做二项式定理,右边的多项式叫做(ab):展开式具有以下特点:项数:共有n1项;系数:依次为组合数2,,Cnr,,Cnn;且每一项的次数是一样的,即为n次,展开式依a的降幂排列,b的升幂排列展开.⑵二项展开式的通项:(ab)n的展开式第r+1为Tr1Cnranrbr(0≤r≤n,rZ).⑶二项式系数的性质.①二项展开式中的r(r0,1,2,,)叫做二项式系数Cnn.....②在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等;即Cn01Cnn1,,CnrCnnr.③二项展开式的中间项二项式系数最大.....且当k<n1时,二项系数是逐渐增大,当n12k>时,(Ⅰ)当n是偶数时,中间项是第 1项,它的二项式系数 C2n最大;2精品文档精品文档2精品文档(Ⅱ)当n是奇数时,中间项为两项,即第n1项和第n11项,④系数和:所有二项式系数的和:1Cnn2n;奇数项二项式系数的和=偶数项而是系数的024132n1mmmmm1CnCnCnCn.⑤CmCm1Cm2CmnCmn1⑸二项式定理的应用:解决有关近似计算、整除问题,运用二项展开式定理并且结合放缩法证明与指数有关的不等式。飄嚦韬鲢茑洒懇间緯擰拨錯吶畢纓。二、基础训练:1、3个班分别从5个景点中选择1处游览,不同的选法种数是(A)(A)53(B)35(C)A53(D)C532、6个人排成一排,甲、乙、丙必须站在一起的排列种数为(D).(A)A66(B)3A33(C)A33A33(D)A33A443、设(1+x)3+(1+x)4++(1+x)10=a0+a1x+a2x2++a10x10则a3=(B)(A)3(B)43(D)4C11xC11(C)2C10C104(1)(1x)的展开式中,x5的系数是(D)、在310(A)-297(B)-252(C)297(D)2075、对于小于55的自然数,积(55-n)(56-n)(68-n)(69-n)等于(B)55n151514(A)A69n(B)A69n(C)A55n(D)A69n6、若(1-2x)9=a0+a1x+a2x2++a8x8+a9x9,则a1+a2++、B两地在同一纬线上,这两地间的纬线长为Rcos,(R是地球半径,是两地的纬度数),则这两地间的球面距离为(C)、典型例题:例1、五个人站成一排,求在下列条件下的不同排法种数:(1)甲必须在排头;2)甲必须在排头,并且乙在排尾;3)甲、乙必须在两端;4)甲不在排头,并且乙不在排尾;5)甲、乙不在两端;6)甲在乙前;7)甲在乙前,并且乙在丙前;8)甲、乙相邻;9)甲、乙相邻,但是与丙不相邻;10)甲、乙、丙不全相邻螻鹬缳顺汆积闖鑊纽繞曉风詿蓥側。14解析:(1)特殊元素是甲,特殊位置是排头;首先排“排头”有A1种,再排其它4个位置有A4种,所14以共有:A1×A4=24种113(2)甲必须在排头,并且乙在排尾的排法种数:A1×A1×A3=6种22(3)首先排两端有A2种,再排中间有A3种,22所以甲、乙必须在两端排法种数为:A2×A3=12种453(4)甲不在排头,并且乙不在排尾排法种数为:A5-2A4+A3=78种23(5)因为两端位置符合条件的排法有A3种,中间位置符合条件的排法有A3种,23所以甲、乙不在两端排法种数为A3×A3=36种5(6)因为甲、乙共有2!种顺序,所以甲在乙前排法种数为:A5÷2!=60种(7)因为甲、乙、丙共有3!种顺序,5所以甲在乙前,并且乙在丙前排法种数为:A5÷3!=20种442(8)把甲、乙看成一个人来排有A4种,而甲、乙也存在顺序变化,所以甲、乙相邻排法种数为A4×A2=48种2(9)首先排甲、乙、丙外的两个有 A,从而产生3个空,把甲、乙看成一个人与丙插入这 3个空中的两2精品文档精品文档3精品文档2222个有A3,而甲、乙也存在顺序变化,所以甲、乙相邻,但是与丙不相邻排法种数为A3×A3×A2=24种33(10)因为甲、乙、丙相邻有A3×A3,335所以甲、乙、丙不全相邻排法种数为A5-A3×A3=84种变式1、某栋楼从二楼到三楼共10级,上楼只许一步上一级或两级,若规定从二楼到三楼用8步走完,则不同的上楼方法有():,则其中有两步走两级,,一步走一级记为b,所2个a和6个b排成一排,=28种;、某校从8名教师中选派4名教师同时去4个远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能事去或同不去,则不同的选派方案有多少种?解:分类:第一为甲丙都去,第二类不去共有C52A44A64600种变式3、将5名大学生毕业生分配到某公司所属的三个部门中去,要求每个部门至少分配一人,:C533A22C513C42C22150变式4、如图是由12个小正方形组成的34矩形网格,一质点沿网格线从点A到点B的不同路径之中,最短路径有条。A解:总揽全局:把质点沿网格线从点A到点B的最短路径分为七步,其中四步向右,三步向上,不同走法的区别在于哪三步向上,因此,本题的结论是:、身高互不相同的7名运动员站成一排,B1)其中甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列的排法有多少种?2)其中甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列且互不相邻的排法有多少种?解:(1)(法一):设想有7个位置,先将其他4人排好,有A74种排法;再将甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排在剩下的3个位置上,只有1种排法,根据分步计数原理,一共有A74840种方法。(法二):设想有7个位置,先将甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排在其中的3个位置上,有C73种排法;将其他4人排在剩下的4个位置上,有A44种排法;根据分步计数原理,一共有C73A44840种方法.(2)(插空法)先将其余4个同学进行全排列一共有A44种方法,再将甲、乙、丙三名同学插入5个空位置中(但无需要进行排列),、(1)(06湖南理11)若(ax-1)5的展开式中x3的系数是-80,则实数a的值是.(2)(06湖北文8)在(x1)24的展开式中,(3)(1+x)+(1+x)2+(1+x)3++(1+x):(1)-2(2)5项(3)35例3、若(12)2004a0a1xa2x2......2004,x,a1)+(a0a2)++(a0a2004)xa2004xR求(a0解:对于式子:(12)2004a0a1xa2x2......a2004x2004,xR,x令x=0,便得到:a0=1令x=1,得到a0a1a2......a2004=1又原式:(a0a1)+(a0a2)++(a0a2004)2004a0(a1a2......a2004)2003a0(a0a1a2......a2004)∴原式:(a0a1)+(a0a2)++(a0a2004)=2004注意:“二项式系数”同二项式展开式中“项的系数”的区别与联系3a2x2a3x322的值是变式5、若2x3a0a1x,则a0a2a1a3():A例4、已知二项式2)n*)的展开式中第5项的系数与第3项的系数的(x2,(n∈N比是10:1,x1)求展开式中各项的系数和2)求展开式中系数最大的项以及二项式系数最大的项解:(1)∵第5项的系数与第3项的系数的比是10:1,42)4∴Cn(10,解得n=8221Cn(2)(1-2)8=1令x=1得到展开式中各项的系数和为r1rr1(2)展开式中第r项,第r+1项,第r+2项的系数绝对值分别为C82nr,C82r,C82r1,若第r+1项的系数绝对值最大,则必须满足:r1rr1rC82nr≤C82r并且C82r1≤C82r,解得5≤r≤6;所以系数最大的项为T7=17921;二项式系数最大的项为T5=11201x11x6例5、(2005年北京)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点D是AB的中点.(1)求证:AC⊥BC1;求证:AC1∥平面CDB1;。CBAC BDA解:(1)直三棱柱 ABC-A1B1C1,底面三边长 AC=3,BC=4,AB=⊥BC,且BC1在平面ABC内的射影为BC,∴AC⊥BC1;2)设CB1与C1B的交点为E,连结DE,∵D是AB的中点,E是BC1的中点,∴DE∥AC1∴DE平面CDB1,AC1平面CDB1,∴AC1∥平面CDB1;3)∵DE∥AC1,∴CED为AC1与B1C所成的角,在△CED中,ED=1AC1=5,CD=1AB=5,CE鍍羟獸属懲剑绋样缓确澱艳缚窍臨。2 2 2 2=1CB1=22,∴cos∠CED=8522222252∴、巩固练****精品文档精品文档5精品文档1、 1x25的展开式中x2的系数为(C)、一生产过程有 4道工序,、乙、丙等 6名工人中安排 4人分别照看一道工序,第一道工序只能从甲、乙两工人中安排 1人,第四道工序只能从甲、丙两工人中安排 1人,则不同的安排方案共有( B ) 。精品文档精品文档7精品文档3、在(x1)(x2)(x3)(x4)(x5)的展开式中,含x4的项的系数是(A)(A)-15(B)85(C)-120(D)274154、x2的展开式中常数项为10;各项系数之和为32.(用数字作答)x35、由0,1,2,3,4,5这六个数字。1)能组成多少个无重复数字的四位数?2)能组成多少个无重复数字的四位偶数?3)能组成多少个无重复数字且被25个整除的四位数?钐颔缧维迩砖听橫栎鋇鯧谶磽獲鋅。(4)组成无重复数字的四位数中比4032大的数有多少个?解:(1)A15A35300(2)A35A12A14A24156(3)A13A13A2421A35A14A24A1311126、已知(x 1 ))求n的值;2):(1)由题设,得01211,Cn4Cn22Cn即n29n80,解得n=8,n=1(舍去).1r≥1r12rC8r1C8,(2)设第r+1的系数最大,则211r≥≥1,即8r2(r1)解得r=2或r=,1≥ 、如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,。(1)11证明:DE⊥AD;(2)当E为AB的中点时,求点E到面ACD1的距离;(3)AE等于何值时,二面角D1-EC- CA BDCAEB(1)证明:∵AE⊥平面AA1DD1,A1D⊥AD1,∴A1D⊥D1E.(2)设点E到面ACD1的距离为h,在△ACD1中,AC=CD1=5,AD1=2,SADC=1·2·51=3,1222而SADC=1·AE·BC=∴VD1ABC=1SABC·DD1=1SAD1C·h33精品文档精品文档8精品文档∴1×1=3×h, ∴h=12 2 3过D作DH⊥CE于H,连D1H、DE,则D1H⊥CE,∴∠DHD1为二面角D1-EC-=x,则BE=2-x厅橱謐銅鵠讒偵涟摑躒謬綈椏輿钮。在Rt△D1DH中,∵∠DHD1=,∴DH=14∵在Rt△ADE中,DE=1x2,∴在Rt△DHE中,EH=x,在Rt△DHC中,CH=3,CE=x24x5,则x+3=x24x5,解得x=2-=2-3时,二面角为D1-EC-