2023-2024学年福建省厦门高二下学期4月月考数学质量检测模拟试题(含解.pdf

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?3?2?3?2?3?SO?h?SG2?GO2??5?x???x??5?5?x?,?6??6??3???????113?3?153?三棱锥的体积V?S?h??x2?55?x?5x4?x5.????????3△ABC343123??353设n?x??5x4?x5,x>0,则n??x??20x3?x4,33x4令n??x??0,即4x3??0,得,易知n?x?=43x=43315∴V??48?5?4?:对于三棱锥最值问题,需要用到函数思想进行解决,本题解决的关键是设好未知量,:..数的性质进行解决,、解答题?2,3?C?5,?1?,且经过点.(1)求圆M的标准方程;(2)已知直线l:3x?4y?16?0与圆M相交于A,,求【正确答案】(1)?x?2?2??y?3?2?25(2)AB?221【分析】(1)根据条件求出圆M的半径,再结合圆心坐标求出标准方程即可;(2)求出圆心M到直线l的距离,再由垂径定理求出|AB|.【详解】(1)因为圆M的圆心为(2,3),且经过点C(5,?1),所以圆M的半径r?MC??5?2?2???1?3?2?5,?x?2?2??y?3?2?(2)由(1)知,圆M的圆心为?2,3?,半径r=5,3′2-4′3+16所以圆心M到直线l的距离d==2,32+42所以由垂径定理,得AB?2r2?d2?252?22??x??ax2??(1)求实数a、b的值;(2)判断函数f?x?的单调区间,()1【正确答案】(1)a?,b=-1;(2)单调递减区间是(0,1),单调递增区间是1,+￥,极小值,【分析】(1)由题设有f??x??2ax?,结合在x?1处有极值,列方程组求a、b的值;x2?x?1??x?1?(2)由(1)得f??x??且f?x?的定义域为(0,+￥),即可确定f?x?的区间单调性,【详解】(1)由f?x??ax2?blnx,知f??x??2ax?.x:..?f??1??0?2a?b?01??又∵f?x?在x?1处有极值,则?1,即?1,2f?1??a??2?2??1∴a?,b=-(2)由(1)可知f?x??x2?lnx,定义域为(0,+￥),21?x?1??x?1?∴f??x??x??.xx令f￠(x)=0,则x=?1(舍去)或x?1;当x变化时,f￠(x),f?x?的变化情况如表:x(0,1)1(1,+￥)f￠(x)-0+f?x?↘极小值↗∴函数f?x?的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+￥),且函数f?x?在定义域上有极小值1f?1??,:(1)利用极值点处导数值为0,求参数值即可.(2)写出函数的导函数,并讨论定义域上各区间的单调性,,长方体ABCD–ABCD的底面ABCD是正方形,点E在棱AA上,BE⊥(1)证明:BE⊥平面EBC;11(2)若AE=AE,求二面角B–EC–【正确答案】(1)证明见解析;(2)2【分析】(1)利用长方体的性质,可以知道BC?侧面ABBA,利用线面垂直的性质可以证明出1111:..BC?EB,这样可以利用线面垂直的判定定理,证明出BE?平面EBC;1111????????????BC,BA,BBx,y,zABCD(2)以点B坐标原点,以分别为轴,建立空间直角坐标系,设正方形的1边长为a,BB?b,求出相应点的坐标,利用BE?EC,可以求出a,b之间的关系,分别求出平11面EBC、的法向量,利用空间向量的数量积公式求出二面角B?EC?C的余弦值的绝11对值,最后利用同角的三角函数关系,求出二面角B?EC?【详解】(1)证明:因为ABCD?ABCD是长方体,所以BC?侧面ABBA,而平面ABBA,11111111BE?11所以BE?BC11又BE?EC,BC?EC?C,BC,EC?平面EBC,因此BE?平面EBC;1**********(2)[方法一]【三垂线定理】由(1)知,BE?EB,又E为AA的中点,所以?BEB,为等腰直角三角形,所以AA?,联结AC,与BD相交于点O,因为AA?平面ABCD,所以AA??AC,所以BO??CE,垂足为H,联结BH,由三垂线定理可知BH?CE,则?OHB为二面角B?EC??1,则AA?2,AE?1,AC?2,CE?3,由?,得OH?.E66OB3在Rt?BOH中,BH?OH2?OB2?,所以sin?OHB??,3BH23即二面角B?EC?[方法二]【利用平面的法向量】设底面边长为1,高为2x,所以BE2?x2?1,BE2?x2?:..因为BE?平面EBC,所以?BEB?90?,即BE2?BE2?BB2,11111所以2x2?2?4x2,解得x??平面AABB,所以BC?BE,又BE?BE,所以BE?平面BCE,11111?????????为同一平面,E的一个法向量,111111?????????在?BDE中,因为BD?DE?BE?2,故BE与BD成60?角,1111111113所以二面角B?EC?C,的正弦值为sin60??.12[方法三]【利用体积公式结合二面角的定义】设底面边长为1,高为2x,所以BE2?x2?1,BE2?x2??平面EBC,所以?BEB?90?,即BE2?BE2?BB2,11111所以2x2?2?4x2,解得x??BE,所以?BCE是直角三角形,BC?1,EC?3,EB?∥B,h因为,,A,E到平面BBC的距离相等,都为1,所以V?V,11E?BB1C1B1?ECC1112即S?AB?S?h,解得h?.3?BB1C13?BCC11126设点B到直线CE的距离为h,在?BCE中,由面积相等解得h?.223h3设?为二面角B?EC?C的平面角,sin??1?,1h223所以二面角B?EC?[方法四]【等价转化后利用射影面积计算】由(1)的结论知BE?EB,又AE?AE,易证?ABE≌?ABE,所以?AEB??AEB?45?,所111111以AE?AB,即二面角B?EC?C的正弦值与二面角B?EC?,DD的中点分别为F,G,H,显然ABCD?EFGH为正方体,所求问题转化为如图3所111:..示,在正方体ABCD?EFGH中求二面角B?EC?,BD相交于点O,易证BO?平面ACGE,所以△EOC是??EFGH的棱长AB?BC?AE?2,11则,OC?2,S?OC?AE?2,S?BC?BE??22BDCEBC?2?2S21B?EC?A?S?S?cos?cos???BDC??设二面角为,由,则,?BDC?EBCS222?EBC3所以sin??.23即二面角B?EC?[方法五]【结合(1)的结论找到二面角的平面角进行计算】如图4,,DD中点F,G,H,联结EF,FG,GH,?EC,垂足为P,,F,G,(1)可得BE??面EBC,所以BE?,所以?ABE≌?ABE,?1,则AE?1,四棱柱ABCD??GEC及?BEC中有CG?CB?1,EG?EB?2,EC?3.:..所以VEGC与??EC,所以BP?EC,?BPG为二面角B?EC?G(即B?EC?C)?BPG中,GP?BP?,BG???2BP2?GP2?GB2331cos?BPG????所以,2BP?GP2222??333所以sin?BPG?.23故二面角B?EC?[方法六]【最优解:空间向量法】????????????BC,BA,BBx,y,z以点B坐标原点,以分别为轴,建立如下图所示的空间直角坐标系,1bB(0,0,0),C(a,0,0),C(a,0,b),E(0,a,),12因为BE?EC,1?????????bbb2所以BE?EC?0?(0,a,)?(a,?a,)?0??a2??0?b?2a,1224?????????????所以E(0,a,a),EC?(a,?a,?a),CC?(0,0,2a),BE?(0,a,a),1??设m?(x,y,z)是平面BEC的法向量,111??????m?BE?0,?ay?az?0,??11所以??????m?(0,1,?1),???mEC0,ax?ay?az?0.???????111?设n?(x,y,z)的法向量,2221????????0,?2az?0,??2所以????1??n?(1,1,0),???nCE0,ax?ay?az?0.???????222:..???m?n11二面角B?EC?C的余弦值的绝对值为?????,1mn2?22?13所以二面角B?EC?C的正弦值为1?()2?.122【整体点评】(2)方法一:三垂线定理是立体几何中寻找垂直关系的核心定理;方法二:利用平面的法向量进行计算体现了等价转化的数学思想,是垂直关系的进一步应用;方法三:体积公式可以计算点面距离,结合点面距离可进一步计算二面角的三角函数值;方法四:射影面积法体现等价转化的数学思想,是将角度问题转化为面积问题的一种方法;方法五:利用第一问的结论找到二面角,然后计算其三角函数值是一种常规的思想;方法六:空间向量是处理立体几何的常规方法,在二面角不好寻找的时候利用空间向量是一种更好的方法.?a?nS,a?a3n?2S2Sm,,当时,???.nn42nn?1?a?(1)求的通项公式;n?m?2n?(2)求数列nT.??的前项和SSn?nn1??a2n?1?n*?【正确答案】(1)??Nn1(2)T?1?n2n?1?1aSaq【分析】(1)利用等比数列的通项公式,结合与的关系式即可求得与,从而得解;nn1m?2n(2)结合(1)中结论,求得的通项公式,?1?a?q【详解】(1)设正项等比数列的公比为,n?a?0,?q?0,na?a3得aq3??aq?3,解得a?1?由,42111?当n?2时,S?2S?m,m?R,nn?1?S?2S?m,S?2S?m,则S?S?2?S?S?,即a?2a,2132322132a?q?3?2,a2:..aaqn?12n?1?nN*?.????n1(2)由(1)得a?2,2?S?2S?m,?a?a?2a?m,?m?a?a?1,21121211?12n????S2n1?nN*?,????n1?2m?2n2n11????,S?S?2n1??2n?11?2n?12n?1?1??nn?1?11??11??11?1?T?????????1?.n?211221??221231??2n12n11?2n11???????????????:??1(a?b?0)的离心率为,其左?右焦点分别为F,F,T为a2b2212椭圆C上任意一点,△(1)求椭圆C的标准方程;???1?(2)已知A0,1,过点0,的直线l与椭圆C交于不同的两点M,N,直线,AN与x轴的??AM?2?交点分别为,Q,证明:【正确答案】(1)?y2?12(2)证明见解析?c2??a2????【分析】(1)依题意可得bc?1,即可求出a、b、c,即可得解;??a2b2c2???????1??y?kx?,M?x,y?,Nx,y(2)设直线l的方程为,联立直线与椭圆方程,消元、列出韦21122达定理,由直线AM、AN的方程,得到、Q的坐标,即可得到以PQ为直径的圆的方程,再令Px?0,得到y2?6,即可得解;2c2【详解】(1)解:因为椭圆C的离心率为,所以?.2a2又当T位于上顶点或者下顶点时,△TFF面积最大,即bc??b2?c2,所以b?c?1,a??y2?:..1??y?kx?,设M?x,y?,Nx,y(2)解:由题知,直线l的斜率存在,所以设直线l的方程为,21122?4k2?2?x2?4kx?3?0将直线l代入椭圆C的方程得:,?4k?3由韦达定理得:x?x?,xx?,124k2?2124k2?2y?1y?1y?1x?1ANy?2x?1直线AM的方程为,直线的方程为,xx12??x???x?所以P1,0,Q2,0,????y?1y?1?1??2??x??x?所以以PQ为直径的圆为x?1x?2?y2?0,?y1??y1???????12?xx??y2?1?2x?12?0①?11??1??1?y?y?y?y??12?12xxxx4xx?1212?12?12???6因为?y?1??y?1??1??1?4k2xx?2k?x?x??1?12k2?8k2?4k2?2,12kx?kx?1212?1??2??2??2??0,?6?令①中的x?0,