2023-2024学年四川省成都市高考热身数学(文)模拟试题(二模)含答案.pdf

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x)在0,上恰有一条对称轴和一个对称中心,?2???ππ5π3π则?π?????,即?????.42445π3π3π5π故答案为.(?,?]?[,)4444三、解答题?a?nSa?,满足:,??.nn1n?1n?S?1?(1)求证:数列是等比数列;n(2)?S?????S12n3n?13【正确答案】(1)证明见解析;(2)?n?.22(1)由递推关系结合a?S?S可得S?1?3?S?1?即可证明;n?1n?1nn?1n(2)由(1)求出S?3n?1,?2S?2S?S?2S?2S?1?3?S?1?【详解】(1)由可得,即n?1nn?1nnn?1n∵S?a?2,S?3S?2,11n?1n∴S?0,∴S?1?0,nnS?1n?1?3n?N*恒成立,∴对任意S?1n故数列?S?1?是以S?1?3为首项,公比为3的等比数列;n1(2)由(1)知:S?1?3?3n?1?3n,即S?3n?1,nn1?3n3n?13故S?S???S?31?1?32?1???3n?1?3??n??n?.12n1322?、乙两人进行乒乓球比赛,、乙在每局比赛中获胜的概率均为,各局比赛相互独立,(1)求双方打满四局且比赛结束,甲获胜的概率;(2)【正确答案】(1)87(2)分布列见解析,2【分析】(1)利用独立重复试验概率公式求解即可;:..(2)先分析X的可能取值,由此计算出对应的概率,可得X的分布列,根据分布列可计算出数学期望.【详解】(1)由已知事件双方打满四局且比赛结束,甲获胜等价于甲前两局胜一局,后两局连胜,1又甲在每局比赛中获胜的概率为,各局比赛相互独立,2设事件双方打满四局且比赛结束,甲获胜为A,则1131??P?A??C1???;2??2?2?8(2)X的可能取值为2,4,,则甲()????X?2或乙连赢两局,所以PX?2?2??;?2?2??X?4,则甲(或乙)在前4局比赛中只赢了第一局或第二局,1131??所以P?X?4??2?C1???;22?2?4??X?6,则在前4局比赛中双方打平,12121????所以P?X?6??C1??C1??,2?2?2?2?4????所以X的分布列为X246111P2441117E?X??2??4??6??.,C是以AB为直径的圆O上异于A,B的点,平面PAC?2442平面ABC,PA?PC?AC?2,BC?4,E,F分别是PC,PB的中点,记平面AEF与平面ABC的交线为直线l.:..(1)求证:直线l?平面PAC;(2)直线l上是否存在点Q,使直线PQ分别与平面AEF,直线EF所成的角互余?若存在,求出AQ的值;若不存在,请说明理由.【正确答案】(1)见解析(2)存在,AQ?1【分析】(1)证明BC∥EF,可得BC?面EFA,根据线面平行的性质可得BC∥l,再根据面面垂直的性质可得BC?面PAC,即可得证;(2)取AC中点M,连接PM,MO,说明MA,MO,MP两两垂直,分别以线段MA,MO,MP所在的直线为xyzM?xyz轴,轴,轴建立空间直角坐标系,利用向量法可得出答案.【详解】(1)证明:∵E,F分别是PB,PC的中点,∴BC∥EF,又EF?平面EFA,BC?面EFA,∴BC?面EFA,又BC?面ABC,面EFA?面ABC?l,∴BC∥l,又BC?AC,面PAC?面ABC?AC,面PAC?面ABC,∴BC?面PAC,则l?面PAC;(2)解:取AC中点M,连接PM,∵PA?PC?AC,∴PM?AC,∵平面PAC?平面ABC,平面PAC?平面ABC?AC,又∵PM?平面PAC,∴PM?平面ABC,又∵C是以AB为直径的圆O上异于A,B的点,∴AC?BC,∵点M,O分别是AC,AB中点,连接MO,则MO?AC,xyzM?xyz分别以线段MA,MO,MP所在的直线为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,???13??13?则A?1,0,0?,B??1,4,0?,P0,0,3,C??,0,0?,E?,0,,F?,2,,????????????????2222?????????33?????∴AE??,0,,EF??0,2,0?,????????32????????PQ??1,y,?3?设Q1,y,0,,??设面AEF的法向量为m??x,y,z?,:..??????33AE?m??x?z?0?????则22,取,得m?1,0,3,?z?3??????EFm2y0????????????2yycosPQ,EF??,24?y24?y2??????131?cosPQ,m??,24?y24?y2??????????????依题意,得cosPQ,EF?cosPQ,m,y1即?,解得y??1,即Q?1,?1,0?,4?y24?y2∴AQ?1,∴直线l上存在点Q,使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余,且AQ?(x)?aex?1?x?1.(1)当a?R时,讨论函数f(x)的单调性;(2)当a?0时,若g(x)?lnx?x?lna,且f(x)?g(x)在x?0时恒成立,求实数a的取值范围.【正确答案】(1)答案见解析;(2)a?1.(1)求导,分a?0和a?0两种情况讨论分析单调性即可;(2)由已知不等式可令h(x)?aex?1?lnx?lna?1,通过h(1)?0恒成立,得到a?1;再证明当a?1时,h(x)?0在x?(x)?ex?1?lnx?1,所以只需证ex?1?lnx?1?0在x?(x)?ex?1?lnx?1,求导,结合导数研究函数的最值,即可求解.【详解】解:(1)f?(x)?aex?1?1,:..①当a?0时,f?(x)?0恒成立,即函数f(x)在(??,??)递减;②当a?0时,令f?(x)?0,解得x?1?lna,令f?(x)?0,解得x?1?lna,即函数f(x)在(1?lna,??)上单调递增,在(??,1?lna),当a?0时,函数f(x)在(??,??)递减;当a?0时,函数f(x)在(1?lna,??)上单调递增,在???,1?lna?上单调递减.(2)由题意,即当a?0时f(x)?g(x)?0在x?0时恒成立,即aex?1?lnx?lna?1?0在x?(x)?aex?1?lnx?lna?1,则h(1)?a?lna?1?0,?(a)?a?lna?1记,1??(a)?1??0,?(a)在a?(0,??)递增,a又?(1)?0,当h(1)?a?lna?1?0时,得a?:当a?1时,h(x)?aex?1?lnx?lna?1?0在x?(x)?aex?1?lnx?lna?1?ex?1?lnx??1?lnx?1?0在x?(x)?ex?1?lnx?1,1所以T(1)?0,T?(x)?ex?1?,x1又T??(x)?ex?1??0,x2所以T?(x)在(0,??)单调递增,又T?(1)?0,:..所以x?(0,1),T?(x)?0,T(x)单调递减;x?(1,??),T?(x)?0,T(x)单调递增,所以T(x)?T(1)?0,min∴T(x)?0在(0,??)(x)?aex?1?lnx?lna?1?0在x?,当f(x)?g(x)在x?0时恒成立时,实数a的取值范围为a?:由不等式恒成立(或能成立)求参数时,一般可对不等式变形,分离参数,根据分离参数后的结果,构造函数,由导数的方法求出函数的最值,进而可求出结果;有时也可根据不等式,直接构造函数,根据导数的方法,利用分类讨论求函数的最值,??:1?ab0?0,3,长轴与短轴的比为2:????的一个焦点为a2b2l:y?kx?m与椭圆E交于P?Q两点,其中k为直线l的斜率.(1)求椭圆E的方程;(2)若以线段PQ为直径的圆过坐标原点O,问:是否存在一个以坐标原点O为圆心的定圆O,不论直线l的斜率k取何值,定圆O恒与直线l相切?如果存在,求出圆O的方程及实数m的取值范围;如果不存在,?25??25??x2?1(2)存在,x2?y2?.m??,??,??【正确答案】(1)的取值范围是????45?5?5?????(1)根据题意直接计算出a?2,b?1得到答案.(2)设直线OP的方程为:y?tx,P点的坐标为?x,y?,则y?tx,联立方程组0000?y?tx?4y2,解得:x2?,设坐标原点O到直线l的距离为d,则有PQd?OPOQ,得到?0?x2?14?t2??425d?,?c?3?y2【详解】(1)由已知得:a?2b解得:a?2,b?1?椭圆E的方程为?x2?1?4?a2b2c2???(2)假设存在定圆O,不论直线l的斜率k取何值时,.:..设直线OP的方程为:y?tx,P点的坐标为?x,y?,则y?tx,0000?y?tx?4联立方程组y2,解得:x2??0?x2?14?t2?4?4?1t2??OP2x2y2?1t2?x2①??????0004?t2?以线段PQ为直径的圆过坐标原点O,1?OP?OQ,直线OQ的方程为:y??xt?12???4?1??????2?1?t?41?t2?????????在①式中以?换t,得OQ=?②l121?4t24???????t?又由OP?OQ知:4?1t2?4?1t2?20?1t2?2???PQ2?OP2?OQ2???t2?41?4t2?1?4t2??t2?4?设坐标原点O到直线l的距离为d,则有PQd?OPOQ4?1t2?4?1t2???OP2OQ2?l2414l2425d2??,d?????PQ220?1t2?255??14t2??t24???y25又当直线OP与轴重合时,P?0,?2?,Q??1,0?此时d?525由坐标原点O到直线l的距离d?为定值知,所以存在定圆O,不论直线l的斜率k取何值时,定54圆O恒与直线l相切,定圆O的方程为:x2?y2?.5y???0,m?直线l与轴交点为0,m,且点不可能在圆O内,又当k=0时,直线l与定圆O切于点?25??25??25?0,?,所以m??,??,????的取值范围是?????5??55???????本题考查了椭圆的标准方程,直线和圆的位置关系,?x,y?x2?y2??x?y,xy?(1)求动点的轨迹C的参数方程,并化为直角坐标方程;:..17(2)过原点的直线l与(1)中的曲线C交于A,B两点,且OA?OB?,?x??cos??sin?x2?1?2y??2?x?2?【正确答案】(1)参数方程为?,?为参数;直角坐标方程为y??cos?sin??1(2)±4x2?y2?1M?cos??sin?,cos?sin??【分析】(1)先将曲线化为参数方程,可得到动点,从而得到点M的轨迹C的参数方程,再转化为直角坐标方程即可;(2)先设l的参数方程,再代入曲线C的方程得t2cos2??2tsin??1?0,再结合韦达定理和同角三角函数的基本关系求解即可.?x?cos?【详解】(1)由题意,曲线x2?y2?1的参数方程为?,?为参数,y?sin??则M?cos??sin?,cos?sin??,?x??cos??sin?再设M?x?,y??,则?,?为参数,y??cos?sin??x2?1?2y??2?x?2?消去参数,得到,x2?1?2y??2?x?2?故点M的轨迹C的方程为.?x?tcos?(2)设l的参数方程为?(t为参数),且?2?x?2,y?tsin??代入曲线C的方程得t2cos2??2tsin??1?0,1设A,B两点对应得参数分别为t,t,则t?t??,1212cos2?1171所以OA?OB?t?t??1?tan2??,则tan???,12cos2?1641即直线l的斜率为±.4???1?aa?N*的解集为,且?A,?(1)求a的值;(2)若mnsm?n?2s?am2?n2?s2的最小值.、、为正实数,且,求【正确答案】(1)a?2(2)m2?n2?s2的最小值为1:..31【分析】(1)根据?A,?A可得出实数a的取值范围,结合?可得出a的值;a?N22(2)由(1)可得m?n?2s?1,利用柯西不等式可求得m2?n2?【详解】(1)因为?A,?A,所以,?1?a??1,即?a?,222222因为a?N?,则a?2.(2)由(1)可知,m?n?2s?1,m,n,s?0,?????2???2m2?n2?s212?12?2?m?n?2s?4由柯西不等式可得,????????s12当且仅当m?n?时,即当m?n?,s?时,等号成立,222??2s1m?n?2s2m?n?m?n?,s?时,等所以,m2?n2?s2??1,当且仅当时,即当2224号成立,因此,m2?n2?s2的最小值为1.