安徽省合肥市第一中学2020届高三下学期最后一卷数学(理)试题(含答案解析).pdf

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?x?0??b?1由函数单调递增且?22??1、1?2?2?1可得;2221由logc??0可得c?1;2c1所以c?1?b??:C.【点睛】本题考查了函数图象、函数单调性及对数函数性质的应用,考查了数形结合思想,合理使用中间值是解题关键,【分析】设点P,Q在准线l上的投影分别为M、N,PQ的延长线交准线于点A,利用三角形相似?可得AQ?2t,从而得到?APM?,根据△PMF为等边三角形可求PM?2,,从而可求p的值.【详解】如图,点P,Q在准线l上的投影分别为M、N,PQ的延长线交准线于点A,解法1:由抛物线的定义可设QF?QN?t,PF?PM?3t,?由AQNAPM得AQ?2t,所以?APM?,3所以△PMF为等边三角形,面积为3,故边长为2,故PM?2答案第6页,总25页:..本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。因为AF?3t?PF,故F为AP的中点,PM所以F到AM距离p??1,2解法2:不妨设PQ的倾斜角为锐角?,如图(2),过F作PM的垂线,垂足为S,则PS?PFcos?,MS?p,p故PFcos??p?PF,故PF?,1?cos?p同理QF?,1?cos?PF1?cos?1?所以??3,所以cos??,??,QF1?cos?23?所以?APM?,所以△PMF为等边三角形,面积为3,故边长为2,故PF?2,3解得p?:A.【点睛】本题考查抛物线的几何性质,注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形(如三角形、直角梯形等)来沟通已知量与p的关系,【分析】观察分析三视图画出四棱锥P?ABCD,结合已知条件得到PD?DC?1,AD?2,答案第7页,总25页:..本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。PC?2,PA?3,分析①沿着侧面从A到C,②沿着侧面从B到D,利用余弦定理得最短路程即可.【详解】四棱锥P?ABCD如图,PD?平面ABCD,BD?DC,底面为平行四边形,且PD?DC?1,AD?2,PC?2,PA?3,①沿着侧面从A到C,若沿侧面PAD与侧面PDC的最短路程为1?2,若沿着侧面PAB与侧面PBC,展成平面图形,由余弦定理得最短路程3?6,②沿着侧面从B到D,若沿侧面PAB与侧面PAD展成平面图形得最短路程3,答案第8页,总25页:..本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。若沿着侧面PBC与侧面PCD,展成平面图形,由余弦定理得最短路程2?3,:B.【点睛】本题主要考查了利用三视图求解立体几何问题,【分析】???T?2?f??f?0?代入验证①正确;代入验证??,则②不正确;对函数求导,令?3?f??x??0xf?x?,求出的取值范围判断③即可;求导求出函数的单调区间,找出最大值即可判断④正确.【详解】答案第9页,总25页:..本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。T?2?f?x??sin2x?2cosx为函数的一个周期,故①正确;????f??f?0?x??f?x?因为??,所以不是函数的对称轴,故②不正确;?3?6f??x??2cos2x?2sinx??4sin2x?2sinx?2??4sinx?2???sinx?1?,1f??x??0?≤sinx≤1令,得,2??7??f?x?2k??,2k???k?Z?所以函数的增区间为??,故③正确;?66?f?x??2cosx?sinx?1??x??0,2??,T?2,不妨取,??3??f?x??0x?,又因为求最大值必有,所以只需考虑??,?22?f??x???4sinx?2???sinx?1??0又可由,??7???7?3??f?x?,,得在??上单调递增,在??上单调递减,?26??62??7??33f?x?f?所以函数的最大值为??,故④正确.?6?2故选:D.【点睛】本题主要考查了求三角函数的性质,包括周期性,对称轴,【分析】使用余弦定理可得c?2acosB?a,利用正弦定理边化角可得B?2A,进一步使用正弦定bcosAa1理可得??2cos2A?,最后利用换元并构造函数,【详解】由余弦定理得b2?a2?c2?osB,即b2?a2?c2?osB,答案第10页,总25页:..本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。?c2?osB?ac,即c?2acosB?a,?sinC?2sinAcosB?sinA,即sin?A?B??2sinAcosB?sinA,?sin?B?A??sinA,?B?A?A,???即B?2A,则A??0,?,?3?bcosAasinBcosAsinAsin2AcosAsinA1???????2cos2A?,absinAsinBsinAsin2A2cosA1?1?x?cosAf?x??2x2?,x?,1设,则??,2x?2?18x3?1?1????f?x?,1fx?4x???0,在??上单调递增,2x22x2?2??1?35?35?f?,f?1??f?x??,则??,所以??.?2?22?22?bcosAa?35?所以?的取值范围为?,?ab?22?故选:C.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用,还考查通过构造函数研究最值问题,考查分析能力以及计算能力,【分析】??2a?b22计算,然后可得a?b?1,最后计算a?2b?a?4a?b?4b即可.【详解】????2因为a?b?2,?3,所以a?b?7,a?b?7,即22,又a?2,b?1,a?2a?b?b?722所以a?b?1,所以a?2b?a?4a?b?4b?:2答案第11页,总25页:..本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。【点睛】本题考查向量的运算,重在计算,?3【分析】不妨设BC?1,求出AB,AC的长度后可计算大正方形的面积和(2)中图形的面积,再利用几何概型的概率计算公式可求概率.【详解】不放设BC?1,则AB?2,AC?3,因为阴影部分是直角边(如AC)向外延长一倍,故图2中的阴影部分的面积恰好等于大正方形的面积4,而整个图形的面积等于大正方形的面积加四个钝角三角形的面积,114个钝角三角形的面积为4???1?23?23,22故整个图形的面积为4?23,23?P??23??23故答案为:23?3.【点睛】本题考查几何概型的概率计算,此类问题的关键是弄清楚总的基本事件对应的面积和随机事件中所有的基本事件对应的面积,注意面积的合理计算,【分析】由OP?3OQ,可知O,P,Q三点共线且P,Q位于原点同侧,若设以A为圆心的圆与双曲b线的渐近线y?x交于P,Q两点,取PQ中点D,则AD?PQ,设OP?t,则可得到abADt1tan?DOA????,则a?2b,【详解】因为OP?3OQ,所以O,P,Q三点共线且P,Q位于原点同侧,答案第12页,总25页:..本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。b不妨设以A为圆心的圆与双曲线的渐近线y?x交于P,Q两点,a取PQ中点D,则AD?PQ,设OP?t,则PQ?2t,又AP?AQ,所以DP?DQ?AD?t,bADt1所以tan?DOA????,aOD2t22?22?即a?2b,a?4c?a,c55a2?4c2,离心率e??.a25故答案为:2【点睛】此题考查求双曲线的离心率,考查转化的数学思想和计算能力,.②③④【分析】依据图形,以及直观想象,依次进行判断,可得结果.【详解】如图当点M运动时,截面S只能为三角形,四边形(梯形,矩形),不可能为五边形,①不正确;当点M为AC中点时,截面S为矩形ABCD,其面积最大为2,故②正确;1111AM?MC时,M为AC靠近点A的三等分点,211截面S为正ABD,故③正确;1答案第13页,总25页:..本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。AM??AC?0???1?设,1设点M在平面ABCD与平面AABB上投影点分别为M,M,11111112则点M在AC上,点M在AB上,11121根据三角形相似得正投影ADM与AAM的底AD?AA,11112111高均为?,所以两个投影三角形面积相等,故④:②③④【点睛】本题考查对几何体截面以及投影的认识,考查空间想象能力,?217.(1)a?;(2)S?1?.n2n2n?1【分析】11a?2a?3a??na?n?n?1??2n?1?()由,得123n121a?2a?3a???n?1?a?n?n?1??2n?1??n?2?,两式相减化简后可得a,123n?112na?a?再验证,最后可得的通项公式;1nn(2)由(1)求出b?,然后利用错位相减法求Sn2n?1n【详解】11a?2a?3a??na?n?n?1??2n?1?解:(),123n121?a?2a?3a???n?1?a?n?n?1??2n?1??n?2?,123n?1121n2两式作差,得na??n?n?1??2n?1???n?1??2n?1???,n??122n?a??n?2?.n21当n?1时,a?适合上式,12n?a?.n2nn(2)b??,n2?2n2n?1123n?S?????①n2223242n?1答案第14页,总25页:..本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。112n?1n?S?????②2n23242n?12n?21?1??1??1111n4?2n?n①-②得:S??????????2n22232n?12n?212n?21?21n?2??,22n?2n?2?S?1?.n2n?1【点睛】?S,n?1此题考查了公式a??1的应用,考查了错位相减法求和,考查了运算能力,nS?S,n?2?nn?.(1)证明见解析;(2).7【分析】EF1EG(1)证明?AEFCDF,证得??,证得GF//PD,从而证得GF//平面FD2GPPDC;(2)先证得△ABD是边长为2的正三角形,得到DE?AB,再以EA,ED,EP为x,y,z轴建立空间直角坐标系,用向量法求平面GFC与平面PDC所成锐二面角的余弦值.【详解】解:(1)G为正△PAB的重心,?E为AB中点.?EG:GP?1:2,又AE//DC,?AEFCDF,?AE:DC?EF:FD?1:2,EG:GP?EF:FD?GF//PD,又GF?面PDC,PD?面PDC,?GF//面PDC.(2)因为侧面PAB?底面ABCD,PE?AB,?PE?面ABCD,连BD,则△ABD是边长为2的正三角形,∴DE?,ED,EP为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图所示答案第15页,总25页:..本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。???3??3???E?0,0,0?,P0,0,3,G0,0,,F0,,0,D0,3,0????,?3??3??????33????GF??0,,??,PD?0,3,?3,?33????23?DC???2,0,0?FC?FD?DC???2,,0?,??,3??????n?PD?0设n??x,y,z?为平面PDC的法向量,则?1,1n?DC?0????1????3y?3z?0y?1z?1?n??0,1,1?即?,令,则,.??2x?01?????n?GF?0n??x,y,z?2设为平面GFC的法向量,则?,2n?FC?0????2?33?y?z?0?333?3?即?,令y?1,则z?1,x?,?n??,1,1?,2??2333????2x?y?0??3n?n242?cosn,n?12??12n?n77,122?【点睛】本题考查了线面平行的证明,求向量法求二面角,还考查了空间想象能力,运算能力,属于答案第16页,总25页:..本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。.(1)y??x?2;(2)证明见解析.【分析】12(1)首先根据题意得到S?OQ?PQ?OP2?2,因为OP?2,所以当△OPQ22maxOP?2时,△OPQ面积取得最大值,?x,y?M?x,y?y?0?x?2?(2)首先设,,得到AP直线方程为,从而得到0011x?20?2y???2y?E?0,0?,同理得到F?0,0?,根据以EF为直径的圆与圆O交于点M得到?x?2??x?2?008y4y2ME?MF?x2?y2?y0?0?0,化简得到y?y,即可证明直线PM平行于111x2?4x2?41000x轴.【详解】12(1)因为OQ?PQ,S?OQ?PQ?OP2?2,△OPQ22OP?2OP?2△OPQP?2,0?又,所以当时,面积取得最大值,此时点,max又因为点