武汉大学数学与统计学院复变函数期末考试题汇总.pdf

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tz引理:若?(?)于|?|<?内解析且?(0)=|?|<?时,|?(?)|≤?.(10’)?|?|,其中?,?均为有限的正数;则当|?|<?时,有|?(?)|≤?(2)利用分式线性变换及以上推广的Schwartz引理证明:若?(?)于|?|<?|?|<?时,有???(?)<?.(15’)2|?|?+|?|||则对|?|<?,有|?(?)|≤?+?(0),其中?,?均为有限的正数.??|?|??|?|2012-2013上(,2013)eed!:..1112???????于开集????(?)=(其中?=?+????),则?(?)在?内是解析函数.(10’)????,把下半圆盘|?|<1,Im?<0映照成上半复平面.(10’)(10’)2?d?∫5+3cos??是解析函数?(?)的孤立奇点,证明:???(?,?)≠0的充要条件是?的任何邻域内都不存在单值解析函数(15’)000?(?),使得?′(?)=?(?).?(?)为整函数,于|?|<+∞内有展开式?(?)=∑+∞???.?=0?(1)证明(5’)()12???222?∫|?(??)|d?=∑|?|?(0≤?<+∞)2??0(2)设?(?)=max{|?(?)|:|?|=?}.利用(1)的结论,证明Cauchy不等式(5’)|?|≤?(?)???,0<?<+∞,?=0,1,······?(3)假定存在正常数?,?及正整数?使得|?(?)|≤?+?|?|?对所有?∈?成立,用(2)的结论,证明?(?)为一个至多?次(5’):?(?)=∑?4?的收敛半径是1,其和函数?(?)在|?|<1解析,但在|?|=1上的每一点都是奇点.(15’)7.?(?)于|?|<?内解析且?(0)=0(1)证明?(?)??可延拓为|?|<?上的解析函数;(5’)(2)证明推广的Schwartz引理:若?(?)于|?|<?内解析且?(0)=|?|<?时,|?(?)|≤?.则当|?|<?时,(10’)?|?|,其中?,?均为有限的正数;有|?(?)|≤?(3)用(2)的结论证明:?(?)于|?|<1内解析且?(0)=0.(10’)2012-2013下(,2013):任何一个?≥1次复系数多项式方程都至少有一个复数根.(10’)(代数学基本定理)é定理证明:假定函数?(?)于点?=0解析,且?′(0)≠0,则?(?)于点?=0的某一个邻域内单叶.(10’)?(?)在点?=?处解析,分别设(15’)(i)当?为?(?)的?级零点;(ii)当?为?(?)的?级极点.?′(?)求???(?(?),?).?(?)?于开集???上是调和函数.??????(1)定义?(?)=(其中?=?+????),则?(?)在?内是解析函数.(10’)????(2)证明(调和函数唯一性定理):若?于?的某开子集上为常数,则?于?上为常数.(5’)(15’)+∞cos??∫d?=1+?22??≠?满足:(i)0∈?;(ii)若?∈?则??∈?.设?(?)是?到|?|<1的双全纯映照,且满足?(0)=0,(15’)?′(0)>?(?)是?上的奇函数.′()(?)()+∞(?)()?(?)在点?=0解析,并且级数?(?)+??+······+??+······=∑??在点?=?=0(1)?(?)可延拓为|?|<+∞上的解析函数;(10’)+∞(?)(?)(2)∑?在|?|<+∞上内闭一致收敛.(10’)?=02013-2014上(,2013)()??(????)??于复平面?上解析,则??也于?上解析.(15’)()?(?)于?解析且?′(?)≠?的邻域?和?(?)的邻域?,使?:?→?是到上的一一映照,并且(15’)()000eed!:..1112??1:?→?.(1)设?(?)于有界区域?内为解析函数,于??上连续,且?(?)≠0(??∈??).证明若|?(?)|于??上为常数?,则?(?)≡(10’)????,其中?为实数;(2)若将(1)中的条件“?(?)≠0(??∈??)”去掉,(1)的结论还成立吗?若果是,给出证明;若果否,举出反例.(10’)?(?)为整函数,于|?|<+∞内有展开式?(?)=∑+∞???.?=0?(1)证明(10’)()12???2||22?∫|?(??)|d?=∑??(0≤?<+∞)2??0(2)设?(?)=max{|?(?)|:|?|=?}.利用(1)的结论,证明Cauchy不等式(10’)|?|≤?(?)???,0<?<+∞,?=0,1,······?(3)假定存在正常数?,?及正整数?使得|?(?)|≤?+?|?|?对所有?∈?成立,用(2)的结论,证明?(?)为一个至多?次(5’).(1)应用最大模原理证明推广的Schwartz引理:若?(?)于|?|<?内解析且?(0)=|?|<?时,|?(?)|≤?.(15’)?|?|,其中?,?均为有限的正数;则当|?|<?时,有|?(?)|≤?(2)利用分式线性变换及以上推广的Schwartz引理证明:若?(?)于|?|<?|?|<?时,有???(?)<?.(10’)2|?|?+?+|?||?(0)|,其中?,?|?|<?,有|?(?)|≤??|?|??|?|2013-2014上(,2013)()||??(????)||??于?<1上解析,则??也于?<1上解析.(12’)(),把带形0<Im?<?保形映照为单位圆盘|?|<1.(12’),并用平均值定理证明之.(12’)()?(?)为整函数,且存在正常数?,?,?使得|?(?)|≤?+?|?|?对所有?∈??(?)必(12’)为一次数不超过??(0,0,1)与?(0,?,?)不解析同胚,其中0<?<?.(12’)()(15’)+∞cos2??∫d?=1+?22??(?)=∑+∞???的收敛半径为?(0<?<+∞).若?(?)于|?|=?上仅有一个奇点?且?为一阶极点.?=0?00??(1)证明存在复数?≠0使?(?)?于|?|≤?上解析,求?(?)?于点?=0的Taylor展开式;(10’)??????00??=?(2)证明lim.(5’)?0?→+∞?+?(?)于|?|<1内解析,于|?|≤1上连续,且?(?)于|?|=1为实数值.(1)证明?(?)(|?|<1);(5’)(2)证明?(?)于|?|≤1上必为常值.(5’)2013-2014下(,2014):设函数?(?)于0≤?<|?|<+∞解析,且lim?(?)=?有限,则(20’)0?→+∞1?(?)?(|?|<?)∫d?={02????????(?)(|?|>?)?0其中?是圆周|?|=?,?(?)于单连通区域Ω??上解析,且?(?)≠0,??∈Ω.(1)证明?(?)∶=ln|?(?)|是Ω??上的调和函数;(10’)(2)证明存在Ω??上的解析函数?使得Re?(?)≡?(?),e?(?)≡?(?)(?∈Ω).(10’)eed!:..?(?)为整函数,于|?|<+∞内有展开式?(?)=∑+∞???.?=0?(1)证明(10’)()12???2||22?∫|?(??)|d?=∑??(0≤?<+∞)2??0(2)设?(?)=max{|?(?)|:|?|=?}.利用(1)的结论,证明Cauchy不等式(5’)|?|≤?(?)???,0<?<+∞,?=0,1,······?(3)假定存在正常数?,?及正整数?使得|?(?)|≤?+?|?|?对所有?∈?成立,用(2)的结论,证明?(?)为一个至多?次(5’)?(?)于整个复平面?上除去?个单极点?,…,?外解析,且在?=∞的邻域内有(20’)1?∞??(?)=∑?+?,?≥1??+??=0?????证明?(?)≡∑,其中为?(?)在?=?的主部.?=1?????????5.(1)应用最大模原理证明推广的Schwartz引理:若?(?)于|?|<?内解析且?(0)=|?|<?时,|?(?)|≤?.(10’)?|?|,其中?,?均为有限的正数;则当|?|<?时,有|?(?)|≤?(2)利用分式线性变换及以上推广的Schwartz引理证明:若?(?)于|?|<?|?|<?时,有Re?(?)<?.(10’)2|?|?+?+|?||?(0)|,其中?,?|?|<?,有|?(?)|≤??|?|??|?|2014-2015上(,2014)()??(????)??于复平面?上解析,则??也于?上解析.(10’)()?(?)于?解析且?′(?)≠?的邻域?和?(?)的邻域?,使?:?→?是到上的一一映照,并且(10’)()000??1:?→?.(1)设?(?)于有界区域?内为解析函数,于??上连续,且?(?)≠0(??∈??).证明若|?(?)|于??上为常数?,则?(?)≡(10’)????,其中?为实数;(2)若将(1)中的条件“?(?)≠0(??∈??)”去掉,(1)的结论还成立吗?若果是,给出证明;若果否,举出反例.(5’)?(?)于单连通区域Ω??上解析,且?(?)≠0,??∈Ω.(1)证明?(?)∶=ln|?(?)|是Ω??上的调和函数;(10’)(2)证明存在Ω??上的解析函数?使得Re?(?)≡?(?),e?(?)≡?(?)(?∈Ω).(5’)?(?)为整函数,于|?|<+∞内有展开式?(?)=∑+∞???.?=0?(1)证明(10’)()12???2||22?∫|?(??)|d?=∑??(0≤?<+∞)2??0(2)设?(?)=max{|?(?)|:|?|=?}.利用(1)的结论,证明Cauchy不等式(10’)|?|≤?(?)???,0<?<+∞,?=0,1,······?(3)假定存在正常数?,?及正整数?使得|?(?)|≤?+?|?|?对所有?∈?成立,用(2)的结论,证明?(?)为一个至多?次(5’).(1)应用最大模原理证明推广的Schwartz引理:若?(?)于|?|<?内解析且?(0)=|?|<?时,|?(?)|≤?.(15’)?|?|,其中?,?均为有限的正数;则当|?|<?时,有|?(?)|≤?(2)利用分式线性变换及以上推广的Schwartz引理证明:若?(?)于|?|<?|?|<?时,有Re?(?)<?.(10’)2|?|?+|?|||则对|?|<?,有|?(?)|≤?+?(0),其中?,?均为有限的正数.??|?|??|?|Masaya的总结:eed!:..,重复率较高,往年试题的参考价值很大,一定要熟烂于心。,第二、三、四章仍然是考试重点。、三、四章,重点在Cauchy定理、Cauchy公式和Cauchy不等式;最大模原理;平均值定理和平均值不等式;Schwartz引理及其证明方法。,该知识点比较简单,要熟练掌握。,这一部分主要掌握对称原理并应用。eed!