蒙特卡罗方法与MCNP程序入门.doc

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...................................................................................159光子截面库MCPLIB1数据目录.................................................................................................................160特殊材料S(,,,)1数据目录.............................................................................................162参考文献...............................................................................................................................................................164-i-P程序入门第1章蒙特卡罗方法简介蒙特卡罗方法,又称随机抽样方法,是一种与一般数值计算方法有本质区别的计算方法,属于试验数学的一个分支,起源于早期的用几率近似概率的数学思想,它利用随机数进行统计试验,以求得的统计特征值(如均值、概率等)作为待解问题的数值解。随着现代计算机技术的飞速发展,蒙特卡罗方法已经在***工程的科学研究中发挥了极其重要的作用,并正在日益广泛地应用于物理工程的各个方面,如气体放电中的粒子输运过程等。?,蒙特卡罗方法的发展可以追溯到18世纪著名的蒲丰问题。1777年,法国科学家蒲丰(Buffon)提出用投针试验计算圆周率π值的问题。这里我们用蒲丰问题来初步说明蒙特卡罗方法的基本原理和解决问题的基本手续。蒲丰问题是这样一个古典概率问题:在平面上有彼此相距为2a的平行线,向此平面任意投一长度为2l的针,假定l<a,显然,所投的针至多可与一条直线相交,那么,此针与任意条平行线相交的概率可以求出,由下面的分析可知,此概率与所取针长2l、平行线间距2a有关,并且包含有π值。在这里,任投一针的概率含义有以下三点:(1)针的中点M在平行线之间l等概率落入,即M距平行线的距离x均匀分布在区间[0,a]之内;(2)针与线的夹角θ均匀l,,分布在区间之内;(3)x与θ互相独立。[,],,建立与平行线垂直且原点在某一条平行线上的x轴,不失一般性,假定xa,(0,)针的中心处于图示中的x轴上。由于对称性,我们只需分析针中心处在范围的情况即可。令探针中心的坐标值为x,显然,只有x?l时才可能发生相交的事件。我们来分析在条件x?l满足时,针与线相交的概率:x只有当时才能相交,且相交的概率为,,,,arcos0l2x(),os1,l下面再来分析针中心位置在轴上的分布,显然,这是一个均匀分布,即针中心处于区间(x,x+dx)内的概率为-1-()dP,2a这样,一次投掷,针中心落入(x,x+dx)且与线相交的概率为2x(),,os12,al则一次投掷,针与线相交的总概率为l22xl(),,,os,,0,,ala即:2l(),,Pa从(5)式可见,可利用投针试验计算π值:设投针N次,其中n次针与线相交,则可用频率值n/N作为概率P的估计值,从而求得π的估计值为2lN(),,an这就是早期的用频率值作为概率近似值的方法的应用实例,表1是在历史上一些有名的用投针试验计算π值的结果,其中针长以a为单位。(年份),0002,,2041,-2-,,4081,,,上述由投针试验求得π的近似值的方法,是进行真正的试验,并统计试验结果,要使获得的频率值与概率值偏差小,就要进行大量的试验,这在实际中,往往难以做到。可以设想,对蒲丰问题这样一个简单的概率问题,若要进行10万次投针试验,以每次投针、作出是否相交判断并累加相交次数用时5秒钟计算,则需用时50万秒,即大约139个小时。那么,可以设想,对于象上述确定条件下的核裂变、直流气体放电中粒子的输运过程及粒子输运的总效应,若要用多次掷骰子的方法近似求出就是不可能的了。所以,在现代计算机技术出现之前,用频率近似概率的方法——抑或称为雏形时代的蒙特卡罗方法——并没有得到实质上的应用。若用数值模拟方法代替上述的真正的投针试验,是利用均匀分布于(0,1)之间的随机数序列,并构造出随机投针的数学模型,然后进行大量的随机统计并求得π的近似值。,平面上一根针的位置可以用针中心Mlθ来决定,在y方向上的位置不影响相交性质。,意味着x与θ都是任意取的。但θ的范围可限于[0,π],x的范围可限于[0,a]。在这种情况下,针与平行线相交的数学条件是xlxa,,,sin,0,()其次,怎样模拟投针呢?亦即如何产生任意的[x,θ]。x在[0,a]任意取值,意味着x在-3-P程序入门[0,a]上取哪一点的概率都一样,即x的概率密度函数为1,,0xa当时,,,()fx(),a,1,0,x当为其他值时,类似的,θ的概率密度函数为1,,,,0当时,,,()f(),,,,2,0,当为其他值时,,由此,产生任意(x,θ)的过程就变为由f(x)抽样x,由f(θ)抽样θ的过程。容易得到12xa,,1(),,,,2式中,ξ,ξ均为(0,1)上均匀分布的随机数。只要随机数的均匀性和独立性良好,如此构12造的数值模型就很好地模拟了实际试验中的一次投针,并用下式判断是否相交且记录统计结果:1,sin当时xli,,,isx(,),,,ii0,当为其他值时xi,如果投针N次,那么N1()ssx,,(,),NiiN,1i是相交几率P的估计值。这样就实现了用数值方法模拟真正的投针试验。。,00020,000100,000200,,随着模拟投针次数的增大,所计算的π的近似值越来越接近于其真值,而要进行这样的数值模拟,就需要很大的计算量,只有利用计算机才能实现。从蒲丰问题可以看出,用蒙特卡罗方法求解问题时,应建立一个概率模型,使待解问题与此概率模型相联系,然后通过随机试验求得某些统计特征值作为待解问题的近似解。与此相似,在一些物理问题,如核裂变、直流气体放电等过程中,粒子的输运过程及粒子输运的总效应,也是可以与某些概率过程联系起来,例如,电子与原子、分子、离子的碰撞过程,实际上就是与碰撞截面有关的概率过程,这样,从数学物理特征来说,类似于用随机投针方