等比数列及其前n项和.doc

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a1≠,必须注意对q=1与q≠1分类讨论,防止因忽略q=(在括号内打“√”或“×”)(1)等比数列公比q是一个常数,它可以是任意实数.()(2)三个数a,b,c成等比数列的充要条件是b2=ac.()n)(3)数列{an}的通项公式是an=an,则其前n项和为Sn=a(1-a.()1-a(4)数列n为等比数列,则4,S8-S4,S12-S8成等比数列.(){a}S解析(1)在等比数列中,q≠0.=,=,=0满足2=ac,但a,b,c不成等比数列.(2)若a0b0cb(3)当a=1时,Sn=na.(4)若a1=1,q=-1,则S4=0,S8-S4=0,S12-S8=0,(1)×(2)×(3)×(4)×2.(必修5P53AT1(2)改编)已知n是等比数列,a2=2,a5=1,则公比q等于{a}4()11A.-2B.-=a5=1,即q=.(2018湖·北省七市联考)公比不为1的等比数列n56+a47=18,若{a}满足aaaa1am=9,则m的值为() 由题意得,2a5a6=18,a5a6=9,∴a1am=a5a6=9,m= C4.(2015全·国Ⅰ卷)在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn为{an},则n=+1=2an,知数列{an是以1=2为首项,公比q=2的等比数列,由}an=2(1-2n)=126,解得n=-2答案65.(2017北·京卷)若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=-1,a4=b4=8,则a2={an}为等差数列,a1=-1,a4=8=a1+3d=-1+3d,∴d=3,∴a2=a1+d=-1+3=2.{bn}为等比数列,b1=-1,b4=8=b1·q3=-q3,∴q=-2,a2 2∴b2=b1·q=2,则b2=2= 1考点一 等比数列基本量的运算【例1】(1)(2017全·国Ⅲ卷)设等比数列{an}满足a1+a2=-1,a1-a3=-3,则a4=(2)(2017江·苏卷)等比数列{an}的各项均为实数,其前 n项和为Sn,已知S3=4,63S6=4,则a8= (1)由{an}为等比数列,设公比为 +a2=-1, a1+a1q=-1,①由a1-a3=-3,得a1-a1q2=-3,②显然q≠1,a1≠0,②①得1-q=3,即q=-2,代入①式可得a1=1,所以a4=a1q3=1×(-2)3=-8.(2)设数列{an}首项为a1,公比为q(q≠1),3=1(1-q3)=7,aa1=1,S1-q4则1(1-q6)63解得4aq=2,6==,S1-q47 1 7所以a8=a1q=4×2= ,等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组),当q=1时,{an}的前n项和Sn=na1;当q≠1时,{an的前1(1-qn)1-ann项和n=a=aq}S1-q1-q.【训练1】(1)(2018武·昌调研)设公比为q(q>0)的等比数列{an的前n项和为n,}S若S2=3a2+2,S4=3a4+2,则a1=()A.-2B.-(2)(2016全·国Ⅰ卷)设等比数列满足1+a3=10,a2+a4=5,(1)由S2=3a2+2,S4=3a4+2得a3+a4=3a4-3a2,即q+q2=3q2-3,解得q=-1(舍)或q=3,将q=3代入S2=3a2+2,得a1+31=3×31+2,解得222a2a1=-1,(2)设等比数列{a}的公比为q,n1+a3=10,1+a12=10,a1=8,a?aq=1,∴a2+a4=5a1q+a1q3=5,解得q2n12(n1)n27n∴a12an=a1=*记t=-2+2=-2(n-7n),结合n∈N,可知n=3或4时,=(1)B(2)64考点二等比数列的性质及应用【例2】(1)(必修5P68BT1(1))等比数列{an}的各项均为正数,且56+a47=aaa31+log32++log310=()18,+log53(2)(2018云·南11校调研)已知数列{an}是等比数列,Sn为其前n项和,若a1+a2+a3=4,a4+a5+a6=8,则S12=()(1)由等比数列的性质知a5a6=a4a7,又a5a6+a4a7=18,所以a5a6=9,则原式=log3(a1a2 a10)=log3(a5a6)5=10.(2)数列S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9是等比数列,即数列 4,8,S9-S6,S12-S9是首项为4,公比为2的等比数列,则 S9-S6=a7+a8+a9=16,S12-S9=a10+a11+a12=32,因此S12=4+8+16+32= (1)B (2)B规律方法 ,要注意挖掘隐含条件,利用性质,特别是性质“若m+n=p+q,则am·an=ap·aq”,可以减少运算量,,要注意性质成立的前提条件,,解题时注意设而不求思想的运用.【训练2】(1)(2018西·安八校联考)已知数列{an}是等比数列,数列{bn}是等差数3+b9列,若a1·a6·a11=-33,b1+b6+b11=7π,则tanb)4·a8的值是(1-a3A.-3B.-1C.-(2)(一题多解)设等比数列n的前n项和为n,若S6=3,则S9=________.{a}SSS36解析(1)依题意得,a63=(-3)3,a6=-3,3b6=7π,b6=7πb3+b93,-4·a81a62=-π,故tan3+b9ππ=2b7b=tan-7=-tan=-3.-634·a8331a1-a(2)法一由等比数列的性质3,S6-S3,S9-S6仍成等比数列,由已知得S6=S3,3SS6-S39-S69S7∴S3=S6-S3,即S9-S6=4S3,S9=7S3,∴S6= 因为{an}为等比数列,由S6=3,设S6=3a,S3=a,所以S3,S6-S3,S9S3-S6为等比数列,即 a,2a,S9-S6成等比数列,所以 S9-S6=4a,解得S9=S9 7a 77a,所以 = =.S6 3a 37答案 (1)A (2)3考点三 等比数列的判定与证明【例3】(2016·全国Ⅲ卷)已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan,其中λ≠0.(1)证明{an}是等比数列,并求其通项公式;31(2)若S5=32,(1)证明 由题意得a1=S1=1+λa1,故λ≠1,a1= ,a1≠=1+λan,Sn+1=1+λan+1,得an+1=λan+1-λan,即an+1(λ-1)=λan,an+1 λ由a1≠0,λ≠0得an≠0,所以an=λ-{an}是首项为 1 ,公比为 λ的等比数列,1-λ λ-1n-1λ于是an=1-λλ-=1-(2)由λ-1.(1)得S3153151λλ由S5=32,得1-λ-1=32,即λ-1==-,其他方法只用于选择题、填空题中的判定;若证明某数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.【训练3】(2017·安徽江南十校联考)已知Sn是数列{an}的前n项和,且满足 Sn2an=n-4.(1)证明:{Sn-n+2}为等比数列;(2)求数列{Sn}的前n项和Tn.(1)证明 因为an=Sn-Sn-1(n≥2),所以Sn-2(Sn-Sn-1)=n-4(n≥2),则Sn=2Sn-1-n+4(n≥2),所以Sn-n+2=2[Sn-1-(n-1)+2](n≥2),又由题意知a1-2a1=-3,所以a1=3,则S1-1+2=4,所以{Sn-n+2}是首项为4,公比为2等比数列.(2)解 由(1)知Sn-n+2=2n+1,所以Sn=2n+1+n-2,于是Tn=(22+23++2n+1)+(1+2++n)-2n(-n)n(n+1)n+3+n2-3n-8412-2n=2.=-2+221基础巩固题组(建议用时:40分钟)一、{an},{bn}都是等比数列,那么( )A.{an+bn},{an·bn}都一定是等比数列B.{an+bn}一定是等比数列,但{an·bn}不一定是等比数列C.{an+bn}不一定是等比数列,但{an·bn}一定是等比数列D.{an+bn},{an·bn}都不一定是等比数列解析 两个等比数列的积仍是一个等比数列 .答案 C52.(2018太·原模拟)在单调递减的等比数列 {an}中,若a3=1,a2+a4=2,则a1=( ) C. 2 2解析在等比数列{an中,24=a32=1,又a2+a4=5,数列{an为递减数列,}aa2}所以a2=2,a4=1,所以q2=a4=1,所以q=1,a1=a2=.(2017全·国Ⅱ卷)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2倍,则塔的顶层共有灯( )盏设塔的顶层的灯数为a1,七层塔的总灯数为S7,公比为q,则依题意S7381,公比q=2.∴a1(1-27)=381,解得a1=-2答案 {an}中,前n项和为Sn,已知S3=8,S6=7,则a7+a8+a9等于()1157B.-8D.8解析因为a7+a8+a9=S9-S6,且公比不等于-1,在等比数列中,S3,S6-S3,S9-S6也成等比数列,即8,-1,S9-S6成等比数列,则8(S9-S6)=(-211),S9-S6=8,即1a7+a8+a9=A5.(2018昆·明诊断)在等比数列{an}中,若a3,a7是方程x2+4x+2=0的两根,则5的值是()aA.-2B.-2C.±+a7=-4,a3a7=2,由a3+a7=-4<0,a3a7>0,所以a3<0,a7<0,即a5<0,2由a3a7=a5,得a5=- a3a7=- B二、填空题6.(2018河·南百校联盟联考改编)若等比数列{an}的前n项和为Sn,a5=40,且S6+3a7=S8,+3a7=S8,得2a7=a8,则公比q为a5402,所以a2=3=3={an}的前n项和为Sn,且满足an+Sn=1(n∈N*),则通项an=∵an+Sn=1,①∴a1=1,an-1+Sn-1=1(n≥2),②2由①-②,得a-a-+a=0,即an=1≥2),nn1na(n2n-1∴数列{an}是首项为1,公比为1的等比数列,2211n-11则an=2×2=·都诊断已知数列nn+1∈*,则其前8.(2018)1=2,且a=4(an+1-an){a}中,aan)(nN9=+1=4(an+1-an得,22n+1-4an+1n+4an=0,an)aa2=0,an+1=2,∴数列{an∴(an+1-2an是首项1=2,公比为2的等比数列,)a}an9)∴S9=2(1-2=-2答案 1022三、解答题9.(2017全·国Ⅰ卷)记Sn为等比数列{an}=2,S3=-6.(1)求{an}的通项公式;(2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+ (1)设{an}的公比为q,由题设可得1(1+q)=2,=-,aq2a1(1+q+q2)=-6,解得a1=-{an}的通项公式为an=(-2)(1-qn)=-2[1-(-2)nn=a](2)由(1)得S1-q1-(-2)2n3[(-2)-1],2n+12n+2则Sn+1=3[(-2)-1],Sn+2=3[(-2)-1],2n+12n+22n4n所以Sn+1+Sn+2=3[(-2)-1]+3[(-2)-1]=3[2(-2)-2]=3[(-2)-1]=2Sn,∴Sn+1,Sn,Sn+.(2018惠·州调研)已知数列{an}中,点(an,an+1)在直线y=x+2上,且首项 a11.(1)求数列{an}的通项公式;(2)数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}中,b1=a1,b2=a2,数列{bn}的前n项和为Tn,请写出适合条件 Tn≤(1)根据已知a1=1,an+1=an+2,即an+1-an=2=d,所以数列{an}是一个等差数列,an=a1+(n-1)d=2n-1.(2)数列{an}的前n项和Sn={bn}中,b1=a1=1,b2=a2=3,n-1所以q=3,bn=3 .nn数列{bn}的前n项和Tn=1-33-11-3=-1Tn≤Sn即32≤n2,又n∈N*,所以n=(建议用时:20分钟)数列n中,已知对任意*n222n∈N,a1+a2+a3++an=3-1,则a1+a2+a311.{a}++an2等于()