第六章第一节.doc

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?x-3x+2≤0 -2≤x≤,如图所示,原不等式的解集为 {x|-2≤x<-1或2<x≤3}.3x-4将原不等式移项通分得≥0,x-53x-4x-5≥0,>5或x≤x-5≠0,3所以原不等式的解集为xx≤4或x>(ax-1)(x-1)<0,1因为a>0,所以ax-a(x-1)<>1,即1<1时,解为1<x<1;aa当a=1时,解集为?;当0<a<1,即1>1时,解为1a1<x<.a综上,当0<a<1时,不等式的解集为当a=1时,不等式的解集为?;1;x1<x<a当a>1时,不等式的解集为1<x<[解题师说] 4个步骤一把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式化二计算对应方程的判别式判三求出对应的一元二次方程的根,或根据判别式说明方程有没有实求根四利用“大于取两边,小于取中间”,转化为整式不等式 (组)-4x+6,x≥0,xgx>0(<0)?f(x)·g(x)>0(<0);(2)fx≥0(≤0)?{fx·gx≥0≤0,gx≠,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式.(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时,讨论判别式 ,确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集形式.[冲关演练] f(x)={xA.(-3,1)∪(3,+∞)C.(-1,1)∪(3,+∞)x+6,x<0,则不等式 f(x)>f(1)的解集是( )B.(-3,1)∪(2,+∞)D.(-∞,-3)∪(1,3)解析:选 A 由题意知 f(1)=3,故原不等式可化为{x<0, x+6>3或{x≥0,x2-4x+6>3,解得-3<x<1或x>3,所以原不等式的解集为(-3,1)∪(3,+∞),-bx-1≥0的解集是-1,-1,则不等式x2-bx-a<0的解集是23( )A.(2,3)B.(-∞,2)∪(3,+∞),2D.-∞,1∪1,+∞32112解析:选A由题意知-2,-3是方程ax-bx-1=0的两根,所以由根与系数的关系得-1+-1=b,-1×-1=-{a=-6, b=5,2 2不等式x-bx-a<0即为x-5x+6<0,解集为(2,3).2 12x-ax>a(a∈R):原不等式可化为 12x2-ax-a2>0,即(4x+a)(3x-a)>0,a令(4x+a)(3x-a)=0,解得x1=-4,x2=>0时,不等式的解集为 -∞,-a∪a,+∞;3当a=0时,不等式的解集为(-∞,0)∪(0,+∞);当a<0时,不等式的解集为-∞,a-a,+∞.3∪4考点三一元二次不等式恒成立问题题点多变型考点——,要注意三者之间的相互联系,,常根据二次函数图象与x轴的交点情况确定判别式的符号,:1形如fx≥0fx≤0x∈R确定参数的范围;形如fx≥0x∈[a,b]确定参数范围;3形如fx≥0参数m∈[a,b]确定x的范围.[题点全练]角度(一) 形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是 ( )A.(-∞,2]B.[-2,2]C.(-2,2]D.(-∞,-2)解析:选C当a-2=0,即a=2时,不等式为-4<0,对一切x∈≠2时,则{a-2<0,=4a-22+16a-2<0,即{a-2<0,a2<4,解得-2<a<2.∴实数a的取值范围是 (-2,2].[题型技法]一元二次不等式在 R上恒成立的条件不等式类恒成立型条件ax2+bx+a>0,<0c>0ax2+bx+a>0,≥Δ≤0c0ax2+bx+a<0,<0c<0ax2+bx+a<0,c≤0Δ≤0角度(二)形如f(x)≥0(x∈[a,b]) f(x)=-x2+ax+b2-b+1(a∈R,b∈R),对任意实数 x都有f(1-x)=f(1+x)成立,若当 x∈[-1,1]时,f(x)>0恒成立,求实数 :由f(1-x)=f(1+x)知f(x)的图象关于直线x=1对称,即a2=1,解得a=(x)的图象开口向下,所以当x∈[-1,1]时,f(x)为增函数,所以当x∈[-1,1]时,f(x)min=f(-1)=-1-2+b2-b+1=b2-b-2,若当x∈[-1,1]时,f(x)>0恒成立,则b2-b-2>0恒成立,解得b<-1或b> b的取值范围为 (-∞,-1)∪(2,+∞).[题型技法]一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法若f(x)>0在集合A中恒成立,即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集,可以先求解集,再由子集的含义求解参数的值(或范围).转化为函数值域问题,即已知函数f(x)的值域为[m,n],则f(x)≥a恒成立?f(x)min≥a,即m≥a;f(x)≤a恒成立?f(x)max≤a,即n≤(三)形如f(x)≥0(参数m∈[a,b])∈[-1,1],函数f(x)=x2+(m-4)x+4-2m的值恒大于零,:由f(x)=x+(m-4)x+4-2m令g(m)=(x-2)m+x2-4x+[-1,1]上,g(m)的值恒大于零,g-1=x-2×-1+x2-4x+4>0,所以g1=x-2+x2-4x+4>0,解得x<1或x>∈(-∞,1)∪(3,+∞)时,对任意的m∈[-1,1],函数f(x)的值恒大于零.[题型技法]一元二次不等式在参数某区间上恒成立确定变量x范围的方法解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元,,知道谁的范围,就选谁当主元,求谁的范围,,构造以参数为变量的函数,根据原变量的取值范围列式求解.[冲关演练]+kx-3<0对一切实数x都成立,则k的取值范围为()8A.(-3,0)B.[-3,0)C.[-3,0]D.(-3,0]解析:选D当k=0时,显然成立;3当k≠0时,即一元二次不等式2kx+kx-8<0对一切实数x都成立,k<0,则解得-3<k<0.=k2-4×2k×-3<0,823综上,满足不等式2kx+kx-<0对一切实数x都成立的k的取值范围是(-3,0].+mx-1<0对于任意x∈[m,m+1]都成立,:由题意,得函数f(x)=x2+mx-1在[m,m+1]上的最大值小于0,又抛物线f(x)=x2+mx-1开口向上,所以只需fm=m2+m2-1<0,fm+1=m+12+mm+1-1<0,2m2-1<0,2即解得-2<m<+3m<0,答案:2-2,0(一)普通高中适用作业级——∈(0,1),a2∈(0,1),记M=a1a2,N=a1+a2-1,则M与N的大小关系是 ( )A.M<N>NC.M=N:选BM-N=a1a2-(a1+a2-1)a1a2-a1-a2+1=(a1-1)(a2-1),又∵a1∈(0,1),a2∈(0,1),a1-1<0,a2-1<0.(a1-1)(a2-1)>0,即M-N>0,M>N.