第五章数列第四节.doc

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( )推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法,利用此法可求得sin21°+sin22°+sin23°+,+sin288°+sin289°=.()答案:(1)√(2)√(3)×(4)√=1,若{an}的前n项和为2017,则项数n为(){an}中,annn+:选D因为a=1=1-1,nnn+1n+1n所以S=1-1+1-1+,+1-1=1-1=n=2017,所以n=+1n+1n+-1}的前n项和为(){1++++2n-+2+2n解析:选C由题意得an=1+2n-1,n1-2 n所以Sn=n+ =n+2-{an}的前n项和为Sn,已知Sn=1-2+3-4+,+ (-1)n-1·n,则S17=:S17=1-2+3-4+5-6+, +15-16+17=1+(-2+3)+(-4+5)+(-6+7),+(-14+15)+(-16+17)=1+1+1+,+1=:9考点一公式法、分组转化法求和基础送分型考点——自主练透[考什么·怎么考]利用公式进行数列求和是高考的常考内容,题型既有选择题、填空题,也有解答题,难度适中,(一)公式法求和1.(2017北·京高考)已知等差数列 {an}和等比数列{bn}满足 a1=b1=1,a2+a4=10,{an}的通项公式;求和:b1+b3+b5+,+b2n-:(1)设等差数列{an}的公差为 =1,因为a2+a4=10,所以2a1+4d=10,解得d=2,所以an=2n-1.(2)设等比数列{bn}的公比为 =1,b2b4=a5,所以b1q·b1q==-1=b1q2n-2=3n-+b3+b5+, +b2n-1=1+3+32+,[方法点拨] 几类可以使用公式法求和的数列n-1 3n-1+3 = 2 .等差数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通过加、减构成的数列,它们可以使用等差数列、等比数列的求和公式求解.(2)奇数项和偶数项分别构成等差数列或等比数列的, 可以分项数为奇数和偶数时, ,等差数列乘(-1)(二) {an}中,a1=1,a2=2,an+2-an=1+(-1)n,那么S100的值为( ):选B当n为奇数时,an+2-an=0,所以an=1,当n为偶数时,an+2-an=2,所以an=n,1,n为奇数,故an=n,n为偶数,于是S=50+2+100×50={an}的前n项和Sn=n2+n,n∈N*.2求数列{an}的通项公式;设bn=2an+(-1)nan,求数列{bn}:(1)当n=1时,a1=S1=1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-n-12+n-1==1也满足an=n,故数列{an}的通项公式为 an=n.(2)由(1)知an=n,故bn=2n+(-1){bn}的前2n项和为T2n,则T2n=(21+22+,+22n)+(-1+2-3+4-,+2n).记A=21+22+,+22n,B=-1+2-3+4-,+2n,则A=21-22n=22n+1-2,1-2B=(-1+2)+(-3+4)+, +[-(2n-1)+2n]={bn}的前2n项和T2n=A+B=22n+1+n-2.[方法点拨],若无通项,则先求通项,然后通过对通项变形,——师生共研错位相减法求和在高考中几乎年年考查,多在解答题的第2问中出现,难度中档.[典题领悟](2017山·东高考)已知{an}是各项均为正数的等比数列,且a1+a2=6,a1a2={an}的通项公式;bn(2){bn}为各项非零的等差数列,其前 +1=bnbn+1,求数列 an的前n项和Tn.[思维路径](1)可利用已知条件 a1+a2=6,a1a2=a3列出关于首项 a1和公比 q的两个方程,解方程可得a1,q,从而求得通项公式.(2)由S2n+1=bnbn+1,利用求和公式及性质,推出数列 {bn}的通项公式,结合 (1)进而求出bn的通项公式,:(1)设{an}的公比为 q,由题意知 a1(1+q)=6,a21q=>0,解得a1=2,q=2,所以an=2n.(2)由题意知,S2n+1=2n+1b1+b2n+1=(2n+1)bn+1,2又S2n+1=bnbn+1,bn+1≠0,所以bn=2n+,则c=2n+1令c=bn,nann23572n-12n+1因此T=c+c+,+c=+23+-+n,n12n22+2+,2n1213572n-12n+1,又Tn=2+3+4+,+n+n+1222222两式相减得1=3+1+112n+12+,+n-1-n+12Tn222223+1-1n-12n+1=2-n+1222n+52-2n+1,2n+5所以Tn=5- 2n.[解题师说]“3步骤”“3关键”要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形;在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式;(3)在应用错位相减法求和时, 若等比数列的公比为参数, 应分公比 q=1和q≠“2失误”两式相减时最后一项因为没有对应项而忘记变号.(2)对相减后的和式的结构认识模糊,错把中间的 n-1项和当作 n项和.[冲关演练]已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n,{bn}是等差数列,且 an=bn+bn+{bn}的通项公式;an+1n+1令cn=bn+2n,}:(1)由题意知,当 n≥2时,an=Sn-Sn-1=6n+5,当n=1时,a1=S1=11,满足上式,所以an=6n+{bn}的公差为 =b1+b2,11=2b1+d,由即a2=b2+b3,17=2b1+3d,b1=4,所以bn=3n+=+16n+6 n+1(2)由(1)知cn= 3n+3n=3(n+1)·2,又Tn=c1+c2+, +cn,得Tn=3×[2×22+3×23++(n+1)×2n+1],2Tn=3×[2×23+3×24++(n+1)×2n+2],两式作差,得-Tn=3×[2×22+23+24++2n+1-(n+1)×2n+2]n=3×+41-2-n+1×2n+241-2=-3n·2n+2,n+=3n·2考点三裂项相消法求和题点多变型考点——追根溯源裂项相消法求和是历年高考的重点,命题角度凸显灵活多变,在解题中要善于利用裂项相消的基本思想,变换数列an的通项公式,达到求解目的.,常见的命题角度有:,1形如an=\f(1,nn+k)型;,2形如an=\f(1,\r(n+k)+\r(n))型;,3形如an=\f(n+1,n2n+22)型.[题点全练]1角度(一) 形如an= 型nn+k1.(2017·国卷Ⅱ全)等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=3,S4=10,则n 1==1Sk解析:设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,a1+2d=3,a1=1,依题意有解得4a1+6d=10,d=1,所以S=nn+1,1=2=21-1,n2Sn+1nn+1nnn1111+1-12n因此+-+,=.=21-223n+n+1k=1Skn1答案:2nn+1角度(二)形如an=1型n+k+n2.(2018江·南十校联考)已知函数f(x)=xα的图象过点(4,2),令an=1,n∈fn+1+fnN*.记数列{an}的前n项和为Sn,则S2018=()---+1解析:选C由f(4)=2可得α1,4=2,解得α=21则f(x)=x2.∴an=1=1=n+1-n,fn+1+fnn+1+nS2018=a1+a2+a3+,+a2018=(2-1)+(3-2)+(4-3)+,+(2018-2017)+(2019-2018)=2019-+1角度(三) 形如an=n2n+{an}的前n项和Sn满足:S2n-(n2+n-1)Sn-(n2+n)={an}的通项公式an;(2)令bn=n+12,数列{bn}:对于任意的n∈N*,都有Tn<5.+22n64na解:(1)由S2n-(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0,得[Sn-(n2+n)](Sn+1)={an}是正项数列,所以 Sn>0,Sn=n2+=S1=2,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=,数列{an}的通项公式为 an=:由于an=2n,故bn=n+1n+12==216n-n+2n+2an4n+n2Tn=11-11111+12-12+2+2-2+2-2+,n-1n+11632435111111115n2-+2=1+22-+12-+2<1+2=.n216nn216264[题“根”探求],然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的,:一般是前边裂几项,后边就裂几项,:消项后前边剩几项,后边就剩几项,前边剩第几项,(n为正整数)裂项方法1(k为非零常数)1=11-1+knn+kknn+knn11=11-1224n-14n-122n-12n+111=n+1-nn+n+1n+n+111=loga(n+1)-loganloga1+n(a>0,a≠1)loga1+n[冲关演练](2018天·一大联考)设等差数列{an}的前n项和为Sn,首项a1=1,且S2018-S2017=(1)求Sn;(2)+1解:(1)设数列{an}的公差为d,Snna1+nn-1d2d因为n=n=a1+(n-1)2,所以Snn为一个等差数列,所以S2018-S2017=d=1,所以d=2,2018 2017 2Sn 2故 =n,所以Sn==1=1-1,SnSn+1nn+1nn+1所以Tn=1-11-1+,1-1=1-1=n.++n+223n1n+1n+1(一)普通高中适用作业级—— {an}的前n项和为Sn,若S3=9,S5=25,则S7=( ):选C设Sn=An2+Bn,S3=9A+3B=9,由题知 解得A=1,B=0,S5=25A+5B=25,S7={an}的通项公式是an=2n-31n,则其前20项和为()-31--21--31-1D.-41-142044055205解析:选C令数列{an}的前n项和为Sn,则S20=a1+a2+,+a20=2(1+2+,+20)11111×+11-520120205=420-3-3+2+,+20=2×-3×--{an}满足a1=1,an+1=2an,n为正奇数,则其前6项之和是()an+1,n为正偶数,:选C由已知得a2=2a1=2,a3=a2+1=3,a4=2a3=6,a5=a4+1=7,a6=2a514,所以S6=1+2+3+6+7+14=.(2018淮·北模拟)5个数依次组成等比数列,且公比为- 2,则其中奇数项和与偶数项和的比值为()A.-21B.-2202121C.-10D.-5解析:选C由题意可设这5个数分别为a,-2a,4a,-8a,16a,故奇数项和与偶数项a+4a+16a21和的比值为-2a-8a=-10,{an}是首项为1的等比数列,Sn是{an}的前n项和,且9S3=S6,则数列1的前an5项和为():选C设{an}的公比为q,显然q≠1,由题意得91-q=1-q,所以1+q3=9,1-q1-q1-1511231得q=2,所以an是首项为1,公比为2的等比数列,前5项和为1-1==n+(n-1)×2+(n-2)×22+,+2×2n-2+2n-1的结果是()+1+n-+1-n+2nn+1-n--n-:选D因为Sn=n+(n-1)×2+(n-2)×22+,+2×2n-2+2n-1,①2Sn=n×2+(n-1)×22+(n-2)×23+,+2×2n-1+2n,②所以①-②得,-Sn=n-(2+22+23+,+2n)=n+2-2n+1,所以Sn=2n+1-n-:12,2,3,,,n+n,,,解析:设所求的前n项和为Sn,则11-11112nnn+11nn+12Sn=(1+2+3+,++,+n=2+1=2-2n+1.+n)+2421-2nn+11答案:-n+{an}中,若a1=2,且对任意正整数m,k,总有am+k=am+ak,则{an}的前n项和Sn=:依题意得an+1=an+a1,即有an+1-an=a1=2,所以数列{an}是以2为首项、2为公差的等差数列, an=2+2(n-1)=2n,Sn=n2+2n=n(n+1).2答案:n(n+1){an}满足22,则数列{an}的前n项和Sn=an+1-6an=an+=:∵a2n+1-6a2n=an+1an,