第11课 函数的奇偶性与周期性.doc

第11课函数的奇偶性与周期性
●考试目标主词填空
(x)是奇函数的充要条件是任取x∈A,必有-x∈A,且f(-x)=-f(x),奇函数的图像关于坐标原点成中心对称.
(x)是偶函数的充要条件是任取x∈A,必有-x∈A,且f(-x)=f(x),偶函数的图像关于y轴成轴对称.
.
=f(x),且x∈A,当此函数满足条件f(x+T)=f(x),T是非零常数且x+T∈A时,称y=f(x)是A上的周期函数.
●题型示例点津归纳
【例1】判断下列函数的奇偶性与周期性.
(1)f(x)=;
(2)f(x)=;
(3)f(x)=;
(4)f(x)=log2();
(5)f(x)=log2().
【解前点津】(1)直接检验;(2)考察分母为0时的x取值范围;(3)先确定定义域,然而检验;(4)考察f(-x)+f(x)的值;(5)考察f(-x)+f(x)的值.
【规范解答】(1)∵x∈R,∴-x∈R,又∵f(-x)+f(x)=0,∴f(x)是R上的奇函数,它不是周期函数.(2)由sinx+cosx=0得:sin(x+)=0.∵f()有意义,而f(-)无意义,故f(x)既不是奇函数,∵f(x+2π)=f(x),∴f(x)是周期函数.
(3)若tanx=0则x=kπ,k∈Z,故f(x)的定义域是对称域,又f(x)=,故知f(-x)=f(x).又∵f(x+π)=f(x),∴f(x)既是奇函数,又是周期函数.
(4)∵f(-x)±f(x)≠0,∴f(x)是非奇非偶函数,又f(x)不是周期函数.
(5)∵x∈R,∴-x∈R,又∵f(-x)+f(x)=log2()·=log21=0,∴f(x)是R上的奇函数,可用反证法证明,它不是周期函数.
【解后归纳】判断函数的奇偶性,先考察函数的定义域是否关于原点“对称”然后检验f(-x)±f(x),对一切x∈A,是否存在非零常数T,使(x+T)∈A;二是在上述基础上,检验f(x+T)=f(x)在A上是否恒成立.
【例2】若f(x)=3x-3-x·log3a为奇函数,求实数a的值.
【解前点津】利用恒等式f(x)+f(-x)=0可推导a值.
【规范解答】由条件知:3x-3-x·log3a+3-x-3x·log3a=0(3x+3-x)=(3x+3-x)·log3alog3a=1,
∴a=3.
【解后归纳】对恒等式而言,左、右两边的“同类项”要完全相同.
【例3】试构造一个[-4,4]上的奇函数,使得当0<x≤4时,f(x)=2x+1.
【解前点津】由条件,可推导-4≤x<0时的f(x)表达式.
【规范解答】设x∈则-x∈f(-x)=2-x+1=-f(x) f(x)=-2-x-1,又f(x)必过原点,故f(x)= .
【解后归纳】利用已知函数在“某一段”上的解析式来推导它在“另一段”上的解析式,是构造奇、偶函数的常见途径.
【例4】已知定义在R上的单调函数f(x)满足:f(x+y)=f(x)+f(y),且f(1)=2.
(1)求证:f(x)为奇函数;
(2)当t>2时,不等式f(k·log2t)+f(log2t-logt-2)<0恒成立,求实